Άρρητο με κυβικές

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Άρρητο με κυβικές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Αύγ 07, 2014 9:48 pm

Να λυθεί στο \,\,R\,\, το σύστημα :

\left\{ \begin{array}{l} 
 {y^2} + 8{x^2} = 3 - \left( {1 + 3\sqrt[3]{{{y^2} - 1}}} \right)\sqrt[3]{{{y^2} - 1}} \\  
 4 - 3\sqrt[3]{{{{\left( {{y^2} - 1} \right)}^2}}} - 2\sqrt[3]{{{y^2} - 1}} = 12{x^2} + {y^2} - \sqrt {1 - 4{x^2}}  \\  
 \end{array} \right.

(Από Vietnam , φυσικά )


Kαλαθάκης Γιώργης
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1034
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Άρρητο με κυβικές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Πέμ Αύγ 07, 2014 10:44 pm

Καταρχήν επειδή βλέπω ότι είναι από Βιετνάμ,επισημαίνω ότι θα απορρίψω αρνητικές τιμές κυβικών ριζών αν προκύψουν (όχι γιατί μου φαίνεται λογικό,αλλά έτσι έχω συνηθίσει).

Θέτουμε \displaystyle{a=\sqrt{1-4x^{2}}} και \displaystyle{b=\sqrt[3]{y^{2}-1}} και θεωρούμε αρχικά ότι \displaystyle{a\neq 0}.

\displaystyle{\begin{cases} 
b^{3}+3b^{2}+b=2a^{2}\\ 
b^{3}+3b^{2}+2b=3a^{2}+a\end{cases}}

Αφαιρώντας κατά μέλη λαμβάνουμε \displaystyle{b=a^{2}+a}.

Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη σχέση με \displaystyle{2} και αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε

\displaystyle{b^{3}+3b^{2}=a^{2}-a\Leftrightarrow (a^{2}+a)^{3}+3(a^{2}+a)^{2}=a^{2}-a\overset{a\neq 0}\Leftrightarrow}

\displaystyle{a^{2}(a+1)^{3}+3a(a+1)^{2}=a-1\Leftrightarrow a^{5}+3a^{4}+3a^{3}+a^{2}+3a^{3}+6a^{2}+3a-a+1=0\Leftrightarrow a^{5}+3a^{4}+6a^{3}+6a^{2}+2a+1=0}.

Η παραπάνω,αν έχει πραγματικές ρίζες αυτές θα είναι αρνητικές.Όμως \displaystyle{a\geq 0} κι έτσι η μόνη περίπτωση που μένει να εξεταστεί είναι η \displaystyle{a=0}.

Η περίπτωση αυτή δίνει \displaystyle{b=0} και τις λύσεις \displaystyle{(x,y)=\left(\pm \frac{1}{2},\pm 1\right)}.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άρρητο με κυβικές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Πέμ Αύγ 07, 2014 10:47 pm

Μια άλλη αντιμετώπιση είναι η εξής (με πρόλαβε ο Γαβριήλ):
Αρχικά έχουμε ότι \left| y \right| \geqslant 1 \wedge \left| x \right| \leqslant \frac{1}{2}.

Είναι
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
  {{y^2} + 8{x^2} = 3 - \left( {1 + 3\sqrt[3]{{{y^2} - 1}}} \right)\sqrt[3]{{{y^2} - 1}}} \\  
  {4 - 3\sqrt[3]{{{{\left( {{y^2} - 1} \right)}^2}}} - 2\sqrt[3]{{{y^2} - 1}} = 12{x^2} + {y^2} - \sqrt {1 - 4{x^2}} }  
\end{array}} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{a = \sqrt[3]{{{y^2} - 1}}}

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
  {{a^3} + 3{a^2} + a = 2\left( {1 - 4{x^2}} \right)} \\  
  { - 3{a^2} - 2a =  - 3\left( {1 - 4{x^2}} \right) + {a^3} - \sqrt {1 - 4{x^2}} }  
\end{array}} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{b = \sqrt {1 - 4{x^2}} }

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
  {{a^3} + 3{a^2} + a = 2{b^2}} \\  
  { - 3{a^2} - 2a =  - 3{b^2} + {a^3} - b}  
\end{array}} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)}

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
  {{a^3} + 3{a^2} + a = 2{b^2}} \\  
  {a = {b^2} + b}  
\end{array}} \right. \Rightarrow

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
  {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\  
  {a = {b^2} + b \geqslant b}  
\end{array}} \right. \Rightarrow

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
  {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\  
  \begin{gathered} 
  a = {b^2} + b \geqslant b \hfill \\ 
  4{a^2} + 2a + 1 \geqslant 4{b^2} + 2b + 1 \hfill \\  
\end{gathered}   
\end{array}} \right. \Rightarrow

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
  {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\  
  \begin{gathered} 
  a = {b^2} + b \geqslant b \hfill \\ 
  4{a^2} + 2a + 1 \geqslant {a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 \hfill \\  
\end{gathered}   
\end{array}} \right. \Rightarrow

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
  {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\  
  \begin{gathered} 
  a = {b^2} + b \geqslant b \hfill \\ 
  0 \geqslant {a^3} - {a^2} + a \hfill \\  
\end{gathered}   
\end{array}} \right. \Rightarrow

\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
  {{a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = 4{b^2} + 2b + 1} \\  
  \begin{gathered} 
  a = {b^2} + b \geqslant b \hfill \\ 
  0 \geqslant a \hfill \\  
\end{gathered}   
\end{array}} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{a \geqslant 0}

a = b = 0 \Rightarrow \left( {x,y} \right) = \left( {\frac{1}{2},1} \right) \vee \left( { - \frac{1}{2},1} \right) \vee \left( {\frac{1}{2}, - 1} \right) \vee \left( { - \frac{1}{2}, - 1} \right) που είναι δεκτές.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης