Άρρητη εξίσωση 37

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Άρρητη εξίσωση 37

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Αύγ 03, 2014 5:09 pm

Να λύσετε την εξίσωση \sqrt[4]{{{x^3}}} + \sqrt[4]{{{x^2}\left( {1 - x} \right)}} + \sqrt {1 - x}  = \sqrt[4]{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} + \sqrt[4]{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} + \sqrt x
Πηγή 33-37
Συνημμένα
123.png
123.png (126.37 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
nikoszan
Δημοσιεύσεις: 952
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 17, 2009 2:22 pm

Re: Άρρητη εξίσωση 37

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikoszan » Κυρ Αύγ 03, 2014 6:07 pm

\sqrt[4]{{{x^3}}} + \sqrt[4]{{{x^2}\left( {1 - x} \right)}} + \sqrt {1 - x}  = \sqrt[4]{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} + \sqrt[4]{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} + \sqrt x :\left( 1 \right)\,\,\,,0 \le x \le 1 .
Θέτουμε a = \sqrt[4]{x},b = \sqrt[4]{{1 - x}},οπότε έχουμε
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {a^3} + {a^2}b + {b^2} = {b^3} + {b^2}a + {a^2} \Leftrightarrow\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) + ab\left( {a - b} \right) - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + ab - a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b = 0 \vee {{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right) = 0} \right) \Leftrightarrow \left( {a = b \vee \left( {a + b} \right)\left( {a + b - 1} \right) = 0} \right) \Leftrightarrow

\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( {a + b \ne 0} \right)} \left( {a = b \vee a + b - 1 = 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
0 \le x \le 1\\ 
\left( {\sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{{1 - x}} \vee \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} = 1} \right) 
\end{array} \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( { *  * } \right)} \left\{ \begin{array}{l} 
0 \le x \le 1\\ 
\left( {x = 1 - x \vee x = 0 \vee x = 1} \right) 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x = \frac{1}{2} \vee x = 0 \vee x = 1} \right)
{\left( { *  * } \right)} Οι αριθμοί {x_1} = 0,{x_2} = 1 είναι φανερό ότι είναι ρίζες της εξίσωσης \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}} = 1:\left( 2 \right) και η εξίσωση \left( 2 \right) δεν έχει άλλη ρίζα ,αφού για κάθε x \in \left( {0,1} \right) ισχύει
\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{1 - x}}\mathop  > \limits^{\left( {\sqrt[4]{x},\sqrt[4]{{1 - x}} \in \left( {0,1} \right)} \right)} {\left( {\sqrt[4]{x}} \right)^4} + {\left( {\sqrt[4]{{1 - x}}} \right)^4} = x + 1 - x = 1
Ν.Ζ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες