Άρρητη εξίσωση 36

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Άρρητη εξίσωση 36

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Αύγ 03, 2014 4:58 pm

Να λύσετε την εξίσωση \sqrt {2x + 1}  + \sqrt {3 - 2x}  = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5591
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση 36

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Αύγ 03, 2014 5:54 pm

Μία σκέψη μόνο.

\displaystyle{t = 2x - 1 \Rightarrow \sqrt {t + 2}  + \sqrt {2 - t}  = \frac{{{t^2}}}{2},\quad \mathop \eta \limits^ \cdot  \;\;\frac{{2t}}{{\sqrt {t + 2}  - \sqrt {2 - t} }} = \frac{{{t^2}}}{2}.} Σίγουρα δύο λύσεις είναι οι t=-2, t=2.

Προκύπτει επίσης όταν \left( {t \ne  - 2} \right) \wedge \left( {t \ne 2} \right), t=0 (απορρίπτεται) ή \displaystyle{\frac{2}{{\sqrt {t + 2}  - \sqrt {2 - t} }} = \frac{t}{2}}. Αυτή επιλύεται με την αντικατάσταση: t=2cosv.

Πράγματι έχουμε: 2 = \cos v\left( {\sqrt {2\left( {\cos v + 1} \right)}  - \sqrt {2\left( {1 - \cos v} \right)} } \right) \Rightarrow 1 = \cos v\left( {\left| {\cos \frac{v}{2}} \right| - \left| {\sin \frac{v}{2}} \right|} \right) \Rightarrow 1 = {\cos ^2}v\left( {1 - \left| {\sin v} \right|} \right) \Rightarrow {\cos ^2}v\left| {\sin v} \right| = {\cos ^2}v - 1 \leqslant 0 \Rightarrow \left( {\cos v = 0} \right) \vee \left( {\sin v = 0} \right) \Rightarrow (t=-2)\vee (t=2). Από εδώ έχουμε: \left( {x =  - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x = \frac{3}{2}} \right).


edit: Σβήστηκε ένα περισσευούμενο
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Κυρ Αύγ 03, 2014 7:43 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση 36

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Αύγ 03, 2014 7:38 pm

Σωτήρη καλησπέρα... η μέρα προσφέρεται για μπυρίτσα...(να δω αν προλάβω την αντιγραφή ή θα μου τραβήξει τα αυτιά η γυναίκα μου :mrgreen: )

Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν x \in \left[ { - \frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right].

Θέτουμε x \in \left[ { - \frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right].
Η εξίσωση γράφεται a + b = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}{8} και επίσης ισχύει {a^2} + {b^2} = 4
Είναι
a + b = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}{8} \Leftrightarrow

8\left( {a + b} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - 2ab} \right) \Leftrightarrow

2\left( {a + b} \right) = \left( {2 + ab} \right)\left( {2 - ab} \right) \Leftrightarrow

2\left( {a + b} \right) = 4 - {a^2}{b^2}.
Έχουμε
4 - {a^2}{b^2} \leqslant 4 \Rightarrow 2\left( {a + b} \right) \leqslant 4 \Rightarrow a + b \leqslant 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab \leqslant 4 \Rightarrow

ab \leqslant 0 \Rightarrow a = 0 \vee b = 0 \Rightarrow x =  - \frac{1}{2} \vee x = \frac{3}{2} που επαληθεύουν και είναι δεκτές.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5591
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση 36

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Αύγ 03, 2014 7:54 pm

S.E.Louridas έγραψε:Μία σκέψη μόνο.

\displaystyle{t = 2x - 1 \Rightarrow \sqrt {t + 2}  + \sqrt {2 - t}  = \frac{{{t^2}}}{2},\quad \mathop \eta \limits^ \cdot  \;\;\frac{{2t}}{{\sqrt {t + 2}  - \sqrt {2 - t} }} = \frac{{{t^2}}}{2}.} Σίγουρα δύο λύσεις είναι οι t=-2, t=2, δηλαδή παίρνουμε \left( {x =  - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x = \frac{3}{2}} \right).

Προκύπτει επίσης όταν \left( {t \ne  - 2} \right) \wedge \left( {t \ne 2} \right), t=0 (απορρίπτεται) ή \displaystyle{\frac{2}{{\sqrt {t + 2}  - \sqrt {2 - t} }} = \frac{t}{2}}. Αυτή επιλύεται με την αντικατάσταση: t=2cosv.

(*) Πράγματι έχουμε: 2 = \cos v\left( {\sqrt {2\left( {\cos v + 1} \right)}  - \sqrt {2\left( {1 - \cos v} \right)} } \right) \Rightarrow 1 = \cos v\left( {\left| {\cos \frac{v}{2}} \right| - \left| {\sin \frac{v}{2}} \right|} \right) \Rightarrow 1 = {\cos ^2}v\left( {1 - \left| {\sin v} \right|} \right) \Rightarrow {\cos ^2}v\left| {\sin v} \right| = {\cos ^2}v - 1 \leqslant 0 \Rightarrow \left( {\cos v = 0} \right) \vee \left( {\sin v = 0} \right) \Rightarrow (t=-2)\vee (t=2).
Από εδώ έχουμε και πάλι: \left( {x =  - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x = \frac{3}{2}} \right).
Εννοείται πως τεκμηριώνουμε με επαλήθευση.

Για να το σώσουμε από τους απαγορευμένους τύπους, επίσης μετά το (*)Πράγματι έχουμε, θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε ως εξής:

2 = \cos v\left( {\sqrt {2\left( {\cos v + 1} \right)}  - \sqrt {2\left( {1 - \cos v} \right)} } \right) \Rightarrow 4 = {\cos ^2}v\left( {4 - 4\left| {\sin v} \right|} \right)\Rightarrow1 = {\cos ^2}v\left( {1 - \left| {\sin v} \right|} \right) \Rightarrow {\cos ^2}v\left| {\sin v} \right| = {\cos ^2}v - 1 \leqslant 0 \Rightarrow \left( {\cos v = 0} \right) \vee \left( {\sin v = 0} \right) \Rightarrow (t=-2)\vee (t=2).
Από εδώ έχουμε και πάλι: \left( {x =  - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x = \frac{3}{2}} \right). Εννοείται πως τεκμηριώνουμε με επαλήθευση.



(*) Αυτά μας κάνει ο Βασίλης με τα όμορφα θέματα που μας βάζει και που λόγω των Καλοκαιρινών συνθηκών καμιά φορά μας αναγκάζει να πληκτρολογούμε επί τόπου τη σκέψη μας με ότι αυτό συνεπάγεται, αφού όπως είπαμε μας αρέσει η ενασχόληση με τα θέματα αυτά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης