Άρρητη εξίσωση 36

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\sqrt {2x + 1} + \sqrt {3 - 2x} = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{2}$

S.E.Louridas · #2

Μία σκέψη μόνο.

$\displaystyle{t = 2x - 1 \Rightarrow \sqrt {t + 2} + \sqrt {2 - t} = \frac{{{t^2}}}{2},\quad \mathop \eta \limits^ \cdot \;\;\frac{{2t}}{{\sqrt {t + 2} - \sqrt {2 - t} }} = \frac{{{t^2}}}{2}.}$ Σίγουρα δύο λύσεις είναι οι t=-2, t=2

.

Προκύπτει επίσης όταν $\left( {t \ne - 2} \right) \wedge \left( {t \ne 2} \right)$ , t=0

(απορρίπτεται) ή $\displaystyle{\frac{2}{{\sqrt {t + 2} - \sqrt {2 - t} }} = \frac{t}{2}}$ . Αυτή επιλύεται με την αντικατάσταση: t=2cosv

.

Πράγματι έχουμε: $2 = \cos v\left( {\sqrt {2\left( {\cos v + 1} \right)} - \sqrt {2\left( {1 - \cos v} \right)} } \right) \Rightarrow 1 = \cos v\left( {\left| {\cos \frac{v}{2}} \right| - \left| {\sin \frac{v}{2}} \right|} \right) \Rightarrow$ $1 = {\cos ^2}v\left( {1 - \left| {\sin v} \right|} \right) \Rightarrow {\cos ^2}v\left| {\sin v} \right| = {\cos ^2}v - 1 \leqslant 0 \Rightarrow$ $\left( {\cos v = 0} \right) \vee \left( {\sin v = 0} \right) \Rightarrow (t=-2)\vee (t=2).$ Από εδώ έχουμε: $\left( {x = - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x = \frac{3}{2}} \right).$

edit: Σβήστηκε ένα περισσευούμενο

mathxl · #3

Σωτήρη καλησπέρα... η μέρα προσφέρεται για μπυρίτσα...(να δω αν προλάβω την αντιγραφή ή θα μου τραβήξει τα αυτιά η γυναίκα μου

)

Η εξίσωση ορίζεται αν και μόνο αν $x \in \left[ { - \frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right]$ .

Θέτουμε $x \in \left[ { - \frac{1}{2},\frac{3}{2}} \right]$ .
Η εξίσωση γράφεται $a + b = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}{8}$ και επίσης ισχύει ${a^2} + {b^2} = 4$
Είναι
$a + b = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}{8} \Leftrightarrow$

$8\left( {a + b} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - 2ab} \right) \Leftrightarrow$

$2\left( {a + b} \right) = \left( {2 + ab} \right)\left( {2 - ab} \right) \Leftrightarrow$

$2\left( {a + b} \right) = 4 - {a^2}{b^2}$ .
Έχουμε
$4 - {a^2}{b^2} \leqslant 4 \Rightarrow 2\left( {a + b} \right) \leqslant 4 \Rightarrow a + b \leqslant 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab \leqslant 4 \Rightarrow$

$ab \leqslant 0 \Rightarrow a = 0 \vee b = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2} \vee x = \frac{3}{2}$ που επαληθεύουν και είναι δεκτές.

S.E.Louridas · #4

S.E.Louridas έγραψε:Μία σκέψη μόνο.

$\displaystyle{t = 2x - 1 \Rightarrow \sqrt {t + 2} + \sqrt {2 - t} = \frac{{{t^2}}}{2},\quad \mathop \eta \limits^ \cdot \;\;\frac{{2t}}{{\sqrt {t + 2} - \sqrt {2 - t} }} = \frac{{{t^2}}}{2}.}$ Σίγουρα δύο λύσεις είναι οι , δηλαδή παίρνουμε $\left( {x = - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x = \frac{3}{2}} \right).$

Προκύπτει επίσης όταν $\left( {t \ne - 2} \right) \wedge \left( {t \ne 2} \right)$ , (απορρίπτεται) ή $\displaystyle{\frac{2}{{\sqrt {t + 2} - \sqrt {2 - t} }} = \frac{t}{2}}$ . Αυτή επιλύεται με την αντικατάσταση: .

(*) Πράγματι έχουμε: $2 = \cos v\left( {\sqrt {2\left( {\cos v + 1} \right)} - \sqrt {2\left( {1 - \cos v} \right)} } \right) \Rightarrow 1 = \cos v\left( {\left| {\cos \frac{v}{2}} \right| - \left| {\sin \frac{v}{2}} \right|} \right) \Rightarrow$ $1 = {\cos ^2}v\left( {1 - \left| {\sin v} \right|} \right) \Rightarrow {\cos ^2}v\left| {\sin v} \right| = {\cos ^2}v - 1 \leqslant 0 \Rightarrow$ $\left( {\cos v = 0} \right) \vee \left( {\sin v = 0} \right) \Rightarrow (t=-2)\vee (t=2).$
Από εδώ έχουμε και πάλι: $\left( {x = - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x = \frac{3}{2}} \right).$

Εννοείται πως τεκμηριώνουμε με επαλήθευση.

Για να το σώσουμε από τους απαγορευμένους τύπους, επίσης μετά το (*)Πράγματι έχουμε, θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε ως εξής:

$2 = \cos v\left( {\sqrt {2\left( {\cos v + 1} \right)} - \sqrt {2\left( {1 - \cos v} \right)} } \right) \Rightarrow 4 = {\cos ^2}v\left( {4 - 4\left| {\sin v} \right|} \right)\Rightarrow1 = {\cos ^2}v\left( {1 - \left| {\sin v} \right|} \right) \Rightarrow {\cos ^2}v\left| {\sin v} \right| = {\cos ^2}v - 1 \leqslant 0 \Rightarrow \left( {\cos v = 0} \right) \vee \left( {\sin v = 0} \right) \Rightarrow (t=-2)\vee (t=2).$
Από εδώ έχουμε και πάλι: $\left( {x = - \frac{1}{2}} \right) \vee \left( {x = \frac{3}{2}} \right).$ Εννοείται πως τεκμηριώνουμε με επαλήθευση.

(*) Αυτά μας κάνει ο Βασίλης με τα όμορφα θέματα που μας βάζει και που λόγω των Καλοκαιρινών συνθηκών καμιά φορά μας αναγκάζει να πληκτρολογούμε επί τόπου τη σκέψη μας με ότι αυτό συνεπάγεται, αφού όπως είπαμε μας αρέσει η ενασχόληση με τα θέματα αυτά.

Άρρητη εξίσωση 36

Άρρητη εξίσωση 36

Re: Άρρητη εξίσωση 36

Re: Άρρητη εξίσωση 36

Re: Άρρητη εξίσωση 36

Μέλη σε σύνδεση