Άρρητη εξίσωση 35

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Άρρητη εξίσωση 35

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Αύγ 03, 2014 4:26 pm

Να λύσετε την εξίσωση 1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - {x^2}}  = \sqrt x  + \sqrt {1 - x}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Άρρητη εξίσωση 35

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Κυρ Αύγ 03, 2014 5:47 pm

Η εξίσωση ορίζεται αν \displaystyle{x \in \left[ {0,1} \right]}

\displaystyle{ 
1 + \frac{2}{3}\sqrt {x - x^2 }  = \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  \Leftrightarrow 3 + 2\sqrt x \sqrt {1 - x}  = 3\left( {\sqrt x  + \sqrt {1 - x} } \right)}

\displaystyle{ 
 \Leftrightarrow 1 + 2\sqrt x \sqrt {1 - x}  + 2 = 3\left( {\sqrt x  + \sqrt {1 - x} } \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + \sqrt {1 - x} } \right)^2  - 3\left( {\sqrt x  + \sqrt {1 - x} } \right) + 2 = 0}

\displaystyle{ 
 \Leftrightarrow \sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = 1\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = 2 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + \sqrt {1 - x}  = \sqrt {x + (1 - x)} } \right)\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\left( {\sqrt x  = 1\,\,\,\, \wedge \sqrt {1 - x}  = 1} \right) 
}

\displaystyle{ 
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  = 0\,\,\,\, \vee \sqrt {1 - x}  = 0} \right)\,\,\,\, \vee \underbrace {\left( {x = 1\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,x = 0} \right)}_{\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau o} \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\, \vee \,\,\,\,x = 1 
}


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση 35

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Αύγ 03, 2014 7:49 pm

Γιώργο πολύ ωραία λύση :clap2: η δική μου έχει ως εξής: a = \sqrt x  \wedge 1 + \frac{2}{3}a\sqrt {1 - {a^2}}  = a + \sqrt {1 - {a^2}}  \Rightarrow a = 0 \vee 1... την οποία δεν θεωρώ εφάμιλλη της δικής σου και δεν την παραθέτω.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 609
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Άρρητη εξίσωση 35

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Πέμ Αύγ 07, 2014 4:35 pm

Κάπως αλλιώς.

Η εξίσωση ορίζεται όταν \displaystyle{ 
\,\,\,x \in [\,0\,,\,1\,]\,\,\, 
}

Θέτω \displaystyle{ 
\,\,\,\,a = \sqrt {\,x\,} \,\,,\,\,\,b = \sqrt {\,1 - x\,} \,\,\,\, 
} οπότε \displaystyle{ 
\,\,\,a^2  + b^2  = 1\,\,\,\,\,(1)\,\, 
}

Η εξίσωση γράφεται τώρα

\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 \,\,\,1\,\, + \,\,\,\frac{2}{3}\,\,\,ab = \,\,a + b\,\,,\,\,\,\,\,a \ge 0,b \ge 0\,\, \\  
  \\  
 \,1 + \frac{4}{3}ab + \frac{4}{9}a^2 b^2  = a^2  + 2ab + b^2 \mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)}  - \frac{2}{3}ab + \frac{4}{9}a^2 b^2  = 0 \\  
  \\  
 \, \Leftrightarrow a = 0\,\,\,\, \vee \,\,\,b = 0\,\,\,\, \vee \,\,\,\,ab = \frac{3}{2}\,\, \\  
  \\  
 \,x = 0\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,x = 1\,\,\,\, \vee \,\,\,x - x^2  = \frac{9}{4}\,\,(\pi o\upsilon \,\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau \eta ) \\  
 \end{array} 
}
Άρα τελικά

\displaystyle{ 
\,\,\chi  = 0\,\,\, \vee \,\,\chi  = 1\,\,\, 
}


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες