Άρρητη εξίσωση 33

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Άρρητη εξίσωση 33

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Σάβ Αύγ 02, 2014 9:39 pm

Να λύσετε την εξίσωση \sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[6]{{{x^2} - 1}}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Άρρητη εξίσωση 33

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Σάβ Αύγ 02, 2014 9:47 pm

Θέτω


b= \sqrt[3]{x-1} \quad a=\sqrt[3]{x+1}

a^3-b^3=2
a-b=\sqrt{ab}

(a-b)[(a-b)^2+3ab]=2 \Leftrightarrow \sqrt{a^3b^3}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\sqrt{1+\frac{1}{4}}


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 609
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Άρρητη εξίσωση 33

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Αύγ 03, 2014 1:51 am

Κάπως διαφορετικά.

Η εξίσωση γράφεται :

\displaystyle{ 
\,\,\,\,\frac{{(\,\sqrt[6]{{\,x + 1\,}}\,\,)\,^2  - (\,\sqrt[{\,6}]{{\,x - 1\,}}\,\,)\,^2 \,\,\,}}{{\sqrt[{6\,}]{{\,x + 1\,\,}}\,\,\,\,\sqrt[{6\,}]{{\,x - 1\,}}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,x \in (1, + \infty )\,\,\, 
}
όπως και:


\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 \,\,\,a\,\, - \frac{1}{{\,a\,\,}}\,\, = \,1\,\,\,\,\,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,a = \sqrt[{6\,\,\,}]{{\,\frac{{\,\,x + 1\,\,}}{{x - 1}}\,\,}}\,\, \succ 0\,\,\, \\  
  \\  
 \,\,\,\,\alpha ^2  - \alpha  - 1 = 0\,\,\,\mathop { \Rightarrow \,\,\,\,}\limits^{\alpha  \succ 0} \alpha  = \frac{{\,\,1\,\, + \,\,\sqrt {\,5\,\,\,} \,\,}}{{2\,}}\,\,\, \\  
 \end{array} 
}

άρα υψώνοντας στην έκτη έχουμε:


\displaystyle{ 
\,\,\,\,\alpha ^6  = (\,\,\frac{{\,\,1\,\, + \,\,\sqrt {\,5\,\,\,} \,\,}}{{2\,}}\,\,\,\,)^6  \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{{\chi  - 1}} = 9 + 4\sqrt 5  \Leftrightarrow \frac{1}{{\chi  - 1}} = 4 + 2\,\sqrt {\,5}  \Leftrightarrow \chi  = \frac{{\,\sqrt {\,5\,} \,}}{2}\,\,\,\, 
}


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άρρητη εξίσωση 33

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Κυρ Αύγ 03, 2014 6:59 pm

:clap2: η δική μου λύση ταυτίζεται με του δόκτωρ :mrgreen:


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
GMANS
Δημοσιεύσεις: 503
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Άρρητη εξίσωση 33

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Δευ Αύγ 04, 2014 12:21 pm

μια ακόμη λύση ...
x\geq 1 και

\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}-\sqrt[6]{x^2-1}=0\Rightarrow  
 
 
\Rightarrow (x+1)-(x-1)-\sqrt{x^2-1}=3\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x+1}\sqrt[6]{x^2-1}\Rightarrow  
 
 
\Rightarrow 2-\sqrt{x^2-1}=3\sqrt[3]{x^2-1}\sqrt[6]{x^2-1}

Αν θέσω α=\sqrt[6]{x^2-1}

τότε

2-a^3=3a^3\Rightarrow  
 
 
\Rightarrow a^3=\frac{1}{2}\Rightarrow  
 
 
\Rightarrow \sqrt{x^2-1}=\frac{1}{2}\Rightarrow  
 
 
\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}}{2}

που επαληθεύει την αρχική


Γ. Μανεάδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης