Άρρητη εξίσωση 33

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση $\sqrt[3]{{x + 1}} - \sqrt[3]{{x - 1}} = \sqrt[6]{{{x^2} - 1}}$

dr.tasos · #2

Θέτω

$b= \sqrt[3]{x-1} \quad a=\sqrt[3]{x+1}$

a^3-b^3=2

$a-b=\sqrt{ab}$

$(a-b)[(a-b)^2+3ab]=2 \Leftrightarrow \sqrt{a^3b^3}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=\sqrt{1+\frac{1}{4}}$

maiksoul · #3

Κάπως διαφορετικά.

Η εξίσωση γράφεται :

$\displaystyle{ \,\,\,\,\frac{{(\,\sqrt[6]{{\,x + 1\,}}\,\,)\,^2 - (\,\sqrt[{\,6}]{{\,x - 1\,}}\,\,)\,^2 \,\,\,}}{{\sqrt[{6\,}]{{\,x + 1\,\,}}\,\,\,\,\sqrt[{6\,}]{{\,x - 1\,}}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,x \in (1, + \infty )\,\,\, }$
όπως και:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \,\,\,a\,\, - \frac{1}{{\,a\,\,}}\,\, = \,1\,\,\,\,\,\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,a = \sqrt[{6\,\,\,}]{{\,\frac{{\,\,x + 1\,\,}}{{x - 1}}\,\,}}\,\, \succ 0\,\,\, \\ \\ \,\,\,\,\alpha ^2 - \alpha - 1 = 0\,\,\,\mathop { \Rightarrow \,\,\,\,}\limits^{\alpha \succ 0} \alpha = \frac{{\,\,1\,\, + \,\,\sqrt {\,5\,\,\,} \,\,}}{{2\,}}\,\,\, \\ \end{array} }$

άρα υψώνοντας στην έκτη έχουμε:

$\displaystyle{ \,\,\,\,\alpha ^6 = (\,\,\frac{{\,\,1\,\, + \,\,\sqrt {\,5\,\,\,} \,\,}}{{2\,}}\,\,\,\,)^6 \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{{\chi - 1}} = 9 + 4\sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{1}{{\chi - 1}} = 4 + 2\,\sqrt {\,5} \Leftrightarrow \chi = \frac{{\,\sqrt {\,5\,} \,}}{2}\,\,\,\, }$

mathxl · #4

η δική μου λύση ταυτίζεται με του δόκτωρ

GMANS · #5

μια ακόμη λύση ...
$x\geq 1$ και

$\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}-\sqrt[6]{x^2-1}=0\Rightarrow \Rightarrow (x+1)-(x-1)-\sqrt{x^2-1}=3\sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x+1}\sqrt[6]{x^2-1}\Rightarrow \Rightarrow 2-\sqrt{x^2-1}=3\sqrt[3]{x^2-1}\sqrt[6]{x^2-1}$

Αν θέσω $α=\sqrt[6]{x^2-1}$

τότε

$2-a^3=3a^3\Rightarrow \Rightarrow a^3=\frac{1}{2}\Rightarrow \Rightarrow \sqrt{x^2-1}=\frac{1}{2}\Rightarrow \Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}}{2}$

που επαληθεύει την αρχική

Άρρητη εξίσωση 33

Άρρητη εξίσωση 33

Re: Άρρητη εξίσωση 33

Re: Άρρητη εξίσωση 33

Re: Άρρητη εξίσωση 33

Re: Άρρητη εξίσωση 33

Μέλη σε σύνδεση