Άρρητα ρήματα 8

Συντονιστής: exdx

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Άρρητα ρήματα 8

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Ιούλ 31, 2014 1:44 pm

Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{ x =\sqrt{ x-\frac{1}{x}}+\sqrt{ 1-\frac{1}{x}} }


Θανάσης Κοντογεώργης
GMANS
Δημοσιεύσεις: 503
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Άρρητα ρήματα 8

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Πέμ Ιούλ 31, 2014 8:04 pm

Απο την δοσμένη έουμεx\geq 1

οπότε:

x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\Leftrightarrow  
 
\Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-1} \Leftrightarrow  
 
\Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt{x-1}(\sqrt{x+1}+1)\Leftrightarrow  
 
\Leftrightarrow x\sqrt{x}(\sqrt{x+1}-1)=\sqrt{x-1}(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+1}-1)\Leftrightarrow  
 
\Leftrightarrow \sqrt{x^2+x}=\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow  
 
\Leftrightarrow x^2-x-2\sqrt{x^2-x}+1=0\Leftrightarrow  
 
\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-x}-1)=0\Leftrightarrow  
 
\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow  
 
\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}


Γ. Μανεάδης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Άρρητα ρήματα 8

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Αύγ 04, 2014 8:40 pm



Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Άρρητα ρήματα 8

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Δευ Αύγ 04, 2014 9:03 pm

Για x \geqslant 1 έχουμε:
x = \sqrt {x - \frac{1}{x}}  + \sqrt {1 - \frac{1}{x}}  \Rightarrow x\left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}}  - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right) = x - 1 \Rightarrow

\sqrt {x - \frac{1}{x}}  - \sqrt {1 - \frac{1}{x}}  = 1 - \frac{1}{x}
Άρα
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
  {\sqrt {x - \frac{1}{x}}  - \sqrt {1 - \frac{1}{x}}  = 1 - \frac{1}{x}} \\  
  {\sqrt {x - \frac{1}{x}}  + \sqrt {1 - \frac{1}{x}}  = x}  
\end{array}} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{\left(  +  \right)} 2\sqrt {x - \frac{1}{x}}  = x - \frac{1}{x} + 1 \Rightarrow

{\left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}}  - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2} με δεκτή μόνο την x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης