Επαναληπτική άσκηση άλγεβρας β λυκείου (συνδυαστική)

thanasis kopadis · #1

Δίνονται τα πολυώνυμα $P(x)=x^{3}-(3+log\kappa )x^2+(5-log\lambda)x-log4$ και
$Q(x)=x^3+(log^2\kappa -log\kappa^6+3)x^2 +(-log^2\lambda -log\frac{\lambda }{10^6})x-log4$ , με $\kappa ,\lambda \succ 0$ .
α) Αν τα πολυώνυμα P(x)

και

είναι ίσα μεταξύ τους, να υπολογίσετε τους αριθμούς $\kappa ,\lambda$
β) Αν το πολυώνυμο P(x)

έχει παράγοντα το (x-1)(x-2)

i) Nα δείξετε ότι $\kappa =2 , \lambda =125$
ii) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

iii) Aν $\alpha$ η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης P(x)=0

, να λύσετε την ανίσωση $3^x+3^{1-x}\leq 10^{2\alpha}$
γ) Να λύσετε την εξίσωση $sin^{2}x=10^{Q(0)}$
δ) Να λύσετε το σύστημα
${\left.\begin{matrix} P(1)\chi+\psi=0 \\ {P(2)\chi+2\psi=0\right\} \end{matrix}\right\}$
για τις διάφορες τιμές των $\kappa ,\lambda \succ 0$ .

thanasis kopadis · #2

Mικρή αλλαγή στο πολυώνυμο Q(x)

, γιατί δεν έβγαινε το α) ερώτημα.

thanasis kopadis · #3

α)
Για να είναι ίσα τα πολυώνυμα θα πρέπει:
$1=1 (1) -log\kappa -3=log^2\kappa -log\kappa ^6+3 (2) 5-log\lambda =-log^2\lambda -log\frac{\lambda }{10^6} (3) -log4=-log4 (4)$

(1),(4)

ισχύουν

$(2)\Leftrightarrow log^2\kappa -5log\kappa +6=0$

Θέτω $log\kappa =a$ , οπότε έχουμε:

$a^2-5a+6=0\Leftrightarrow a=2,a=3$

Για $a=2\Leftrightarrow log\kappa =2\Leftrightarrow \kappa =100$

Για $a=3\Leftrightarrow log\kappa =3\Leftrightarrow \kappa =1000$

$(3)\Leftrightarrow 5-log\lambda =-log^2\lambda -log\lambda +6\Leftrightarrow log^2\lambda =1\Leftrightarrow log\lambda =1 , log\lambda =-1\Leftrightarrow \lambda =10 , \lambda =\frac{1}{10}$

Άρα λύσεις τα ζεύγη $(\kappa ,\lambda ) = (100,1) , (100,\frac{1}{10}) , (1000,1) , (1000,\frac{1}{10})$

βi)
Θα πρέπει P(1)=0

και

$P(1)=0\Leftrightarrow 1-3-log\kappa +5-log\lambda -log4=0 \Leftrightarrow -log\kappa -log\lambda =-3+log4 (1)$

$P(2)=0\Leftrightarrow 8-12-4log\kappa +10-2log\lambda -log4=0 \Leftrightarrow 4log\kappa +2log\lambda =6-log4\Leftrightarrow 2log\kappa +log\lambda=3-log2 (2)$

$(1)+(2)\Leftrightarrow log\kappa =log2\Leftrightarrow \kappa =2$

Οπότε από (1)

για $\kappa=2$ έχουμε:

$-log2-log\lambda =-3+log4\Leftrightarrow log\lambda =3-log8\Leftrightarrow log\lambda =log\frac{1000}{8} \Leftrightarrow log\lambda =log125\Leftrightarrow \lambda =125$

βii)
P(x)=x^3-(3+log2)x^2+(5-log125)x-log4

Aφου το

ρίζα του πολυωνύμου με σχ.Horner προκύπτει ότι:

$P(x)=0\Leftrightarrow (x-1)[x^2-(2+log2)x+2log2]=0$
$\Leftrightarrow x=1 , x^2-(2+log2)x+2log2=0$

Το τριώνυμο έχει D=(2-log2)^2

και ρίζες $x_{1}=2 , x_{2}=log2$

βiii)
Το $\alpha =log2$ είναι η μικρότερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης.

Οπότε
$3^{x}+3^{1-x}\geq 10^{log4}\Leftrightarrow 3^x+3\frac{1}{3^x}\geq 4 \Leftrightarrow 3^{2x}+3\geq 4\cdot 3^x\Leftrightarrow 3^{2x}-4\cdot 3^x+3\geq 0.$

Θέτω 3^x=b

, άρα $b^2-4b+3\geq 0 \Leftrightarrow b\leq 1$ ή $b\geq 3\Leftrightarrow 3^x\leq 1$ ή $3^x\geq 3\Leftrightarrow x\leq 0$ ή $x\geq 1$

γ)
$sin^2x=10^{log\frac{1}{4}}\Leftrightarrow sin^2x=\frac{1}{4}\Leftrightarrow sinx=\pm \frac{1}{2}$

$sinx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sinx=sin\frac{\pi }{6}\Leftrightarrow x=2\kappa \pi +\frac{\pi }{6}, x=2\kappa \pi +\frac{5\pi }{6}$

$sinx=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow sinx=sin(-\frac{\pi }{6})\Leftrightarrow x=2\kappa \pi -\frac{\pi }{6} , x=2\kappa \pi +\frac{7\pi }{6}$

δ)
$P(1)=log\frac{250}{\kappa \cdot \lambda }$

$P(2)=2log\frac{500}{\kappa ^2\lambda }$

$D=\begin{vmatrix} log\frac{250}{\kappa \cdot \lambda } & 1 \\ 2log\frac{500}{\kappa ^2\lambda } & 2 \end{vmatrix}$
$=2(log\frac{250}{\kappa \cdot \lambda }-log\frac{500}{\kappa ^2\lambda })= 2log\frac{\kappa }{2}$

Το (Σ) είναι ομογενές, οπότε:

Αν $D\neq 0\Leftrightarrow log\frac{\kappa }{2}\neq log1\Leftrightarrow \kappa\neq2$

και $\lambda >0$ , τότε το (Σ) έχει μοναδική λύση τη μηδενική.

Αν $D=0\Leftrightarrow \kappa =2$ και $\lambda >0$ , τότε το (Σ) έχει άπειρες λύσεις (και τη μηδενική)

Επαναληπτική άσκηση άλγεβρας β λυκείου (συνδυαστική)

Επαναληπτική άσκηση άλγεβρας β λυκείου (συνδυαστική)

Re: Επαναληπτική άσκηση άλγεβρας β λυκείου (συνδυαστική)

Re: Επαναληπτική άσκηση άλγεβρας β λυκείου (συνδυαστική)

Μέλη σε σύνδεση