Σελίδα 1 από 1

Πανέμορφη,αξιόλογη άσκηση τριγωνομετρίας!!

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 18, 2009 2:43 pm
από Μάκης Χατζόπουλος
Υπολογίστε την παράσταση:
\frac{1}{sin10^{0}}-\frac{\sqrt{3}}{cos10^{0}}

Απάντηση
4
Υ.Γ 1 : Εδώ δεν υπάρχει η δυνατότητα υποερωτημάτων
Υ.Γ 2: Την έχω τοποθετήση και αυτή στο αρχείο ως τα "25 ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΑΣΕΠ ΠΕ03"
Υ.Γ 3: Αγαπημένη άσκηση παιδικής ηλικίας αν και με ταλαιπώρησε πάρα πολύ !!

Re: Πανέμορφη,αξιόλογη άσκηση τριγωνομετρίας!!

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 18, 2009 3:06 pm
από cretanman
\begin{aligned} \displaystyle\frac{1}{sin\displaystyle\frac{\pi}{18}}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{cos\displaystyle\displaystyle\frac{\pi}{18}} &=\displaystyle\frac{cos\displaystyle\frac{\pi}{18}-\sqrt{3}sin\displaystyle\frac{\pi}{18}}{sin\displaystyle\frac{\pi}{18}cos\displaystyle\frac{\pi}{18}}=\displaystyle\frac{2\left(\displaystyle\frac{1}{2}cos\displaystyle\displaystyle\frac{\pi}{18}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}sin\displaystyle\frac{\pi}{18}\right)}{\displaystyle\frac{1}{2}sin\displaystyle\frac{2\pi}{18}} \\ &=\displaystyle\frac{4\left(sin\displaystyle\frac{\pi}{6}cos\displaystyle\frac{\pi}{18}-cos\displaystyle\frac{\pi}{6}sin\displaystyle\frac{\pi}{18}\right)}{sin\displaystyle\frac{2\pi}{18}}=\displaystyle\frac{4sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}-\displaystyle\frac{\pi}{18}\right)}{sin\displaystyle\frac{\pi}{9}} \\ &=4\end{aligned}


Αλέξανδρος

Re: Πανέμορφη,αξιόλογη άσκηση τριγωνομετρίας!!

Δημοσιεύτηκε: Παρ Σεπ 18, 2009 5:08 pm
από Μάκης Χατζόπουλος
Πολύ όμορφα Αλέξανδρε, πολύ ποιο σύντομη και πιο κομψή από τη λύση που είχα κατά νου (να βάλω στη θέση του \displaystyle{\sqrt 3 }
το \displaystyle{\varepsilon \varphi {60^0}})!! Για ποιο αναλυτικά έχουμε:

\displaystyle{\frac{1}{{\eta \mu {{10}^0}}} - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sigma \upsilon \nu {{10}^0}}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu {{10}^0} - \sqrt 3  \cdot \eta \mu {{10}^0}}}{{\eta \mu {{10}^0} \cdot \sigma \upsilon \nu {{10}^0}}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu {{10}^0} - \varepsilon \varphi {{60}^0} \cdot \eta \mu {{10}^0}}}{{\eta \mu {{10}^0} \cdot \sigma \upsilon \nu {{10}^0}}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu {{10}^0} - \frac{{\eta \mu {{60}^0}}}{{\sigma \upsilon \nu {{60}^0}}} \cdot \eta \mu {{10}^0}}}{{\eta \mu {{10}^0} \cdot \sigma \upsilon \nu {{10}^0}}}}

\displaystyle{ = \frac{{\sigma \upsilon \nu {{10}^0}\sigma \upsilon \nu {{60}^0} - \eta \mu {{10}^0}\sigma \upsilon \nu {{60}^0}}}{{\frac{1}{2}\eta \mu \left( {2 \cdot 10} \right)\sigma \upsilon \nu {{60}^0}}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu \left( {{{10}^0} + {{60}^0}} \right)}}{{\frac{1}{2}\eta \mu {{20}^0} \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu 70}}{{\frac{1}{4}\eta \mu {{20}^0}}} = 4\frac{{\sigma \upsilon \nu \left( {{{90}^0} - {{20}^0}} \right)}}{{\eta \mu {{20}^0}}} = 4\frac{{\eta \mu {{20}^0}}}{{\eta \mu {{20}^0}}} = 4}

Re: Πανέμορφη,αξιόλογη άσκηση τριγωνομετρίας!!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:54 am
από Ratio
\frac{1}{sin10^0}-\frac{\sqrt{3}}{cos10^0}=\frac{cos10^0-\sqrt{3}sin10^0}{sin10^0cos10^0}=\frac{\frac{1}{2}cos10^0-\frac{\sqrt{3}}{2}sin10^0}{\frac{1}{2}sin10^0cos10^0}=\frac{sin30^0cos10^0-cos30^0sin10^0}{\frac{2}{4}sin10^0cos10^0}= 4\frac{sin20^{0}}{sin20^0}=4

Re: Πανέμορφη,αξιόλογη άσκηση τριγωνομετρίας!!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Νοέμ 09, 2019 11:35 am
από Mihalis_Lambrou
Ratio έγραψε:
Σάβ Νοέμ 09, 2019 8:54 am
\frac{1}{sin10^0}-\frac{\sqrt{3}}{cos10^0}=\frac{cos10^0-\sqrt{3}sin10^0}{sin10^0cos10^0}=\frac{\frac{1}{2}cos10^0-\frac{\sqrt{3}}{2}sin10^0}{\frac{1}{2}sin10^0cos10^0}=\frac{sin30^0cos10^0-cos30^0sin10^0}{\frac{2}{4}sin10^0cos10^0}= 4\frac{sin20^{0}}{sin20^0}=4
.
Σωστά, αλλά αυτό ακριβώς λέει η λύση του Αλέξανδρου, παραπάνω.

Re: Πανέμορφη,αξιόλογη άσκηση τριγωνομετρίας!!

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 10, 2019 1:50 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλή Κυριακή σε όλους! Υποβάλλω το -κυρίως Γεωμετρικό-πόνημα που ακολουθεί
ως αλληλεγγύη των παιδιόθεν κόπων του Μάκη Χατζόπουλου!
Πανέμορφη...Μ.Χ.PNG
Πανέμορφη...Μ.Χ.PNG (6.94 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές
Το τρίγωνο ABH έχει AB=BH και \widehat{ABH}=20^{0} ενώ το AEH είναι ισόπλευρο. Φέρω BO \perp AH και HK,EL \perp AB.

Είναι \widehat{AHK}=\widehat{ABO}=10^{0}...HK=AH\sigma \upsilon \nu 10^{0} και EL=AE\eta \mu 20^{0}\Rightarrow \boxed{EL=2HK\eta \mu 10^{0}}.

Έτσι 2\left ( ABE \right )=AB\cdot EL=2AB\cdot HK\eta \mu 10^{0} \Rightarrow  \boxed{2\left ( ABE \right )=4\eta \mu 10^{0}\left ( ABH \right )}.

Αλλά 2\left ( ABE \right )=AB\cdot  BE\eta \mu 10^{0} και \left ( ABH \right )=OA\cdot OB.

Με αντικατάσταση προκύπτει AB\cdot BE=4OA\cdot OB \Leftrightarrow AB\cdot OB-AB\cdot OE=4OA\cdot OB. Διαιρώντας με OA\cdot OB

παίρνουμε \dfrac{AB}{OA}-\dfrac{AB}{OB}\cdot \dfrac{OE}{OA}=4 \Leftrightarrow\dfrac{1}{\eta \mu 10^{0}}-\dfrac{1}{\sigma \upsilon \nu 10^{0}}\cdot \varepsilon \varphi 60^{0}=4 δηλ. το ζητούμενο! Φιλικά , Γιώργος.