mathematica.gr • Διαίρεση πολυωνύμων

Σελίδα 1 από 1

Διαίρεση πολυωνύμων

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 05, 2012 1:16 pm

από marmix

$P(x)=x^{3k}+x^{3l+1}+x^{3m+2}$
και
$Q(x)=x^{2}+x+1$
Να δειχθεί ότι το P(x)

P(x)

διαιρείται με το Q(x)

Q(x)

.

Re: Διαίρεση πολυωνύμων

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 05, 2012 1:23 pm

από matha

marmix έγραψε: $P(x)=x^{3k}+x^{3l+1}+x^{3m+2}$
και
$Q(x)=x^{2}+x+1$
Να δειχθεί ότι το P(x) διαιρείται με το Q(x).

Είναι

$\displaystyle{P(x)-Q(x)=x^{3k}-1+x(x^{3l}-1)+x^2(x^{3m}-1)=}$ πολλαπλάσιο του $\displaystyle{x^3-1}$ άρα και του $\displaystyle{Q(x)=x^2+x+1,}$

όπως είναι άμεσα φανερό από την ταυτότητα

$\displaystyle{a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+\cdots b^{n-1})}$ .

Re: Διαίρεση πολυωνύμων

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 05, 2012 1:50 pm

από Antonis_Z

Μπορούμε να πούμε και το εξής.
Έστω

μια από τις δύο ρίζες του Q(x)

Q(x)

.Τότε,ως γνωστόν,θα έχουμε q^3=1

q^3=1

.Και επίσης q^2

q^2

θα είναι η 2η ρίζα του Q(x)

Q(x)

.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα q,q^2

q,q^2

είναι ρίζες όχι μόνο του Q(x)

Q(x)

,αλλά και του P(x)

P(x)

,δηλαδή ότι P(q)=0

P(q)=0

και

P(q^2)=0

.
$P(q)=q^{3k}+q^{3l+1}+q^{3m+2}=1+q+q^2=Q(q)=0$
και $P(q^2)=q^{6k}+q^{6l+2}+q^{6m+4}=1+q^2+q^4=Q(q^2)=0$ .

Το γεγονός ότι q^3=1

q^3=1

,προέκυψε ως εξής: $q^2+q+1=0\Leftrightarrow q^3=-q^2-q=1$