Εκθετική εξίσωση

Συντονιστής: exdx

hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Εκθετική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Ιουν 17, 2009 3:58 pm

Να λυθεί η εξίσωση

(3 \cdot 2^{1-x}+2 \cdot 3^{1-x}+6 )^3 (8^x+27^x+1 )=17496


Γιώργος

Ευχαριστώ τον Δημήτρη και διόρθωσα για να φαίνεται καλύτερα το σύμβολο του "επι"
τελευταία επεξεργασία από hsiodos σε Πέμ Ιουν 18, 2009 12:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Ροδόπουλος
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Εκθετική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Τετ Ιουν 17, 2009 4:18 pm

Εαν δεν εχω κανει λαθος στις πραξεις η λυση ειναι η χ=0.
Να πω οτι η ασκηση του Γιωργου οπως και καποιες αλλες προδιδεται
απο τον τυπο της και αρκετες φορες συμβαινει η λυση να κρυβεται
στους εκθετες εδω εχουμε χ,1-χ αρα ριζες 0,1 απο τις οποιες η 0
επαληθευει την εξισωση.


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Εκθετική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Πέμ Ιουν 18, 2009 9:56 am

Καλημέρα
Σωστές οι επισημάνσεις του συνάδελφου papel.
Ο εντοπισμός ρίζας (προφανούς) της εξίσωσης δεν φτάνει βέβαια για να πούμε ότι την λύσαμε.
Ας περιμένουμε πρώτα μήπως δοθεί πλήρης λύση από κάποιο μαθητή , όπως πολύ σωστά έχει επισημάνει σε άλλο μήνυμα ο Αντώνης Κυριακόπουλος.

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8182
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 18, 2009 12:07 pm

Μια στιγμή. Το έλεγξα τόσες φορές και δεν βλέπω ούτε το 0 ούτε το 1 να είναι λύσεις. :shock:


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6817
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εκθετική εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Ιουν 18, 2009 12:10 pm

Δημήτρη το μηδέν είναι σίγουρα...


Χρήστος Κυριαζής
papel
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Κυρ Απρ 05, 2009 2:39 am
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

Re: Εκθετική εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papel » Πέμ Ιουν 18, 2009 12:12 pm

Εχεις για χ=0 , (18^3)*3=...


"There are two types of people in this world, those who divide the world into two types and those who do not."
Jeremy Bentham
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8182
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εκθετική εξίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιουν 18, 2009 12:29 pm

Τώρα κατάλαβα. Ευχαριστώ. Το διάβαζα σαν (3.2)^{1-x} + \cdots

Η εξίσωση είναι δηλαδή η

(3 \cdot 2^{1-x}+2 \cdot 3^{1-x}+6 )^3 (8^x+27^x+1 )=17496

(Η τελεία του πολλαπλασιασμου επιτυγχάνεται με \cdot)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11281
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εκθετική εξίσωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 18, 2009 1:05 pm

hsiodos έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση

(3 \cdot 2^{1-x}+2 \cdot 3^{1-x}+6 )^3 (8^x+27^x+1 )=17496
Ας δούμε γιατί η εξίσωση δεν έχει άλλη λύση πλην της προφανούς χ = 0.

Γλυτώνουμε πράξεις αν παρατηρήσουμε ότι 17496 = 2^33^7.
Η εξίσωση γράφεται
(2^{-x}+ 3^{-x}+1)^3 (2^{3x}+3^{3x}+1)=3^4

Από ανίσωση Αριθμητικού-Γεωμετρικού μέσου είναι

(2^{-x}+ 3^{-x}+1)^3 \ge 27 \cdot 2^{-x}\cdot 3^{-x} \cdot 1 και
2^{3x}+3^{3x}+1 \ge 3\sqrt[3]{2^{3x}3^{3x}\cdot 1}= 3\cdot 2^{x}3^{x}

με ισότητες αν και μόνον αν x = 0.

Πολλαπλασιάζοντας τις δύο τελευταίες κατά μέλη είναι

(2^{-x}+ 3^{-x}+1)^3 (2^{3x}+3^{3x}+1) \ge 3^4

και λοιπά (με ισότητα μόνο αν χ=0).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11281
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εκθετική εξίσωση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 18, 2009 1:19 pm

hsiodos έγραψε:Ας περιμένουμε πρώτα μήπως δοθεί πλήρης λύση από κάποιο μαθητή ,
Ω συγνώμη, δεν το πρόσεξα.

Είχα ξεκινήσει να γράφω λύση, αλλά με διέκοψαν πάρα πολλές φορές. Το αποτέλεσμα ήταν να γράφω σταδιακά και δεν πρόσεξα το μήνυμα του Γιώργου.

Αχχχ, πότε θα βρω ησυχία χωρίς να κτυπάει τηλέφωνο, πόρτα, παράθυρο, ...

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης