Πολυώνυμο 2
Συντονιστής: exdx
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμο 2
Ακόμα καλύτερα, ελέγχουμε ότι τα (3 - )/2 και (3 + )/2 είναι ρίζες. Φυσικά είναι αντίστροφες η μία της άλλης.R BORIS έγραψε:Να δείξετε ότι το έχει δυο ρίζες αντίστροφες
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
- Καρδαμίτσης Σπύρος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2338
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
- Επικοινωνία:
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Πολυώνυμο 2
Καλωσορίζω και εγώ τον συνάδελφο Ροδόλφο Μπόρη.
Μία προσέγγιση θα μπορούσε να ήταν και η εξής:
Θέλουμε το αρχικό πολυώνυμο να έχει δύο αντίστροφες ρίζες. Επομένως να έχει παράγοντα ενα τριώνυμο όπου τό γινόμενο των ριζών του θα είναι 1. Κάποιο λοιπόν τριώνυμο της μορφής: . Ο άλλος παράγοντας θα είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου 1. Ας το πούμε
'Εχουμε:
οπότε:
και επομένως το σύστημα:
Από την επίλυση του βρίσκουμε ότι και επομένως το πολυώνυμο έχει παράγοντα το που όντως έχει δύο πραγματικές αντίστροφες ρίζες.
Μαυρογιάννης
Μία προσέγγιση θα μπορούσε να ήταν και η εξής:
Θέλουμε το αρχικό πολυώνυμο να έχει δύο αντίστροφες ρίζες. Επομένως να έχει παράγοντα ενα τριώνυμο όπου τό γινόμενο των ριζών του θα είναι 1. Κάποιο λοιπόν τριώνυμο της μορφής: . Ο άλλος παράγοντας θα είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου 1. Ας το πούμε
'Εχουμε:
οπότε:
και επομένως το σύστημα:
Από την επίλυση του βρίσκουμε ότι και επομένως το πολυώνυμο έχει παράγοντα το που όντως έχει δύο πραγματικές αντίστροφες ρίζες.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Πολυώνυμο 2
Στην παραπάνω λύση δεν εξήγησα πώς σκέφτηκα. Εννοείται ότι οι ρίζες που έγραψα δεν είναι ουρανοκατέβατες! Αξίζει να γράψω την μέθοδο (= τα μυστικά της δουλειάς...) γιατί εκεί βρίσκεται το κλειδί της άσκησης.Mihalis_Lambrou έγραψε:Ακόμα καλύτερα, ελέγχουμε ότι τα (3 - )/2 και (3 + )/2 είναι ρίζες. Φυσικά είναι αντίστροφες η μία της άλλης.R BORIS έγραψε:Να δείξετε ότι το έχει δυο ρίζες αντίστροφες
Μας δόθηκε ένα πολυώνυμο και μας ζητήθηκε να δείξουμε ότι έχει αντίστροφες ρίζες. Με άλλα λόγια, αν x ρίζα του αρχικού, οπότε
... (1)
θέλουμε να δείξουμε ότι η 1/x είναι επίσης ρίζα. Το τελευταίο ισοδυναμεί με το ότι το x ικανοποιεί την
... (2)
Διώχνουμε το x^5 από την (2), με χρήση της (1).
Δίνει δηλαδή
... (3)
Πολλαπλασιάζουμε τη (3) επί x για να το κάνουμε πεμπτοβάθμιο (η αιτία της επιλογής αυτής αιτιολογείται στο επόμενο βήμα)
... (4)
Μεταξύ της (1) και της (4) διώχνουμε το x^5. Το πετυχαίνουμε αυτό πολλαπλασιάζοντας την (1) επί Α μετά αφαιρούμε την (4). Θα βρούμε
... (5)
Δηλαδή δευτεροβάθμια. Ζήτωωωω! Ξέρουμε να την λύνουμε! Και τα καλά νέα είναι ότι το γινόμενο των ριζών είναι 1, διότι ΑΒ/ΑΒ = 1. Τελειώσαμε!
Με τα συγκεκριμένα Α, Β της άσκησης η τελική δευτεροβάθμια βγήκε , και από κει βρήκα τις ρίζες που έγραψα.
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
Υ.Γ.
Τώρα είδα την ωραία εξήγηση του Νίκου, που βασίζεται σε άλλη ιδέα. Τον ευχαριστώ.
Συμπέρασμα: τίποτα ουρανοκατέβατο στα Μαθηματικά.... Όλα έχουν τις αιτίες τους.
Άλλο Μαθηματικά και άλλο Αλχημεία.
Re: Πολυώνυμο 2
Βάζω μια απάντηση εδώ
για να μπορώ να διεκδικώ την μακροσκελέστερη λύση !!!
Παρατήρηση
Στην δεύτερη γραμμή η παράσταση ρ^2-3ρ+1 να αγνοηθεί Πάνος
για να μπορώ να διεκδικώ την μακροσκελέστερη λύση !!!
Παρατήρηση
Στην δεύτερη γραμμή η παράσταση ρ^2-3ρ+1 να αγνοηθεί Πάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες