Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

hlkampel · #141

dimplak έγραψε: 60.

$x^2 - 6x + 9 = 4 \sqrt{x^2 - 6x + 6}$

Απάντηση: ή ή $x = 3 - 2 \sqrt{3}$ ή $x = 3 + 2 \sqrt{3}$

Πρέπει ${x^2} - 6x + 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 3 - \sqrt 3 \,\,\dot \eta \,\,x \ge 3 + \sqrt 3$ αφού ${x^2} - 6x + 9 = {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0$ για κάθε $x \in R$

Αν $\sqrt {{x^2} - 6x + 6} = w \ge 0$ η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:

${w^2} + 3 = 4w \Leftrightarrow {w^2} - 4w + 3 = 0 \Leftrightarrow w = 3\,\,\dot \eta \,\,w = 1$

Με $w = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 6 = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,\dot \eta \,\,\,x = 5$

Με $w = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 6 = 9 \Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 3 \,\,\dot \eta \,\,\,x = 3 - 2\sqrt 3$

Όλες ικανοποιούν την εξίσωση

STOPJOHN · #142

dimplak έγραψε: 60.

$x^2 - 6x + 9 = 4 \sqrt{x^2 - 6x + 6}$

Απάντηση: ή ή $x = 3 - 2 \sqrt{3}$ ή $x = 3 + 2 \sqrt{3}$

Kαλησπέρα Δημήτρη
$x^{2}-6x+9=4\sqrt{x^{2}-6x+6},(1), x\leq 3-\sqrt{3},x\geq 3+\sqrt{3}, (1)\Leftrightarrow (x-3)^{2}=4\sqrt{(x-3)^{2}-3},(2)$
Θέτουμε,
$w=\sqrt{(x-3)^{2}-3}\Leftrightarrow (x-3)^{2}=w^{2}+3$
Kαι η εξίσωση
$(2)\Rightarrow w^{2}-4w+3=0, w=1\Rightarrow x=1,x=5, w=3\Rightarrow x=3+2\sqrt{3},x=3-2\sqrt{3}$

Γιάννης

dimplak · #143

61.

$x = \sqrt{3-x} \sqrt{4-x} + \sqrt{4-x} \sqrt{5-x} + \sqrt{5-x} \sqrt{3-x}$

Απάντηση: $x = \frac{671}{240}$

dimplak · #144

62.

$(x-2)(5x^2 + 10x -34) = 18 \sqrt{5x-1} \sqrt[3]{x-1} - 27x$

Απάντηση: x=2

dimplak · #145

63.

$x( \sqrt{2x-1} - 3) = \frac{2(2x^2 - 7x - 15)}{x^2 - 6x + 13}$

Απάντηση: x=5

ή $x = 4 + \sqrt{6}$

dimplak · #146

64.

$9x^4 - 31x^3 + 34x^2 - 11x + 5 = 5 \sqrt{x^3 + 1}$

Απάντηση: x=0

ή

dimplak · #147

65.

$2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \frac{-x^2 + 3x + 7}{x^2 + 6x + 6}$

Απάντηση: x = -1

dimplak · #148

66.

$\sqrt{x+1} - 2 \sqrt{4-x} = \frac{5(x-3)}{\sqrt{2x^2 + 18}}$

Απάντηση: x= -1

ή $x = \frac{3}{2}$ ή x = 3

dimplak · #149

67.

$\frac{x + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{3}}} + \frac{x - \sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{3}}} = \sqrt{x}$

Απάντηση: x=2

STOPJOHN · #150

dimplak έγραψε: 67.

$\frac{x + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{3}}} + \frac{x - \sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{3}}} = \sqrt{x}$

Απάντηση:

Καλημέρα Δημήτρη
Η δοθείσα εξίσωση γράφεται
$x(\sqrt{x+\sqrt{3}}+\sqrt{x-\sqrt{3}})+\sqrt{3}(\sqrt{x+\sqrt{3}}-\sqrt{x-\sqrt{3}})=3\sqrt{3}x,x\geq \sqrt{3},$
Θέτουμε
$a=\sqrt{x+\sqrt{3}}+\sqrt{x-\sqrt{3}},b=\sqrt{x+\sqrt{3}}-\sqrt{x-\sqrt{3}}\Rightarrow ab=2\sqrt{3},x=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{4}$
Συνεπώς είναι
$a^{4}+36=6\sqrt{3}\sqrt{a^{4}+12},a>0,$
Με τετραγωνισμό προκύπτει $a=\sqrt{6},\sqrt{6}=\sqrt{x+\sqrt{3}}+\sqrt{x-\sqrt{3}}\Rightarrow x=2$

ΘΡΥΛικά
Γιάννης

STOPJOHN · #151

dimplak έγραψε: 51.

$\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}$

Απάντηση:

Kαλησπέρα Δημήτρη

Ασκηση 51.

Θέτουμε $\sqrt{x}=w,x\geq 0,w\geq 0,$
και η εξίσωση διαμορφώνεται $\sqrt{-w^{2}+3w+2}+\sqrt{-3w^{2}-2w+2}=\sqrt{-5w^{2}+4w+10},(1), 0<w\leq \dfrac{-1+\sqrt{19}}{3},(2),$

Θέτουμε
$a=-w^{2}=3w+2,b=-3w^{2}-2w+6,c=-5w^{2}+4w+10,$
Αρα $c-b=2a,(4), \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{c},(3), a\geq 0,b\geq 0,c\geq 0, (5), (3),(4)\Rightarrow 2\sqrt{ab}=a\Leftrightarrow a=0,a=4b, 1) a=0\Rightarrow c=b,w^{2}-3w-2=0\Rightarrow w=\dfrac{3-\sqrt{17}}{2},w=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}$
Οι τιμές αυτές απορρίπτονται λόγω των περιορισμών

$2)a\neq 0,a=4b\Rightarrow c=9b\Rightarrow w^{2}+w-2=0\Rightarrow w=1=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=1, w=-2<0$

Γιάννης

STOPJOHN · #152

dimplak έγραψε: 66.

$\sqrt{x+1} - 2 \sqrt{4-x} = \frac{5(x-3)}{\sqrt{2x^2 + 18}}$

Απάντηση: ή $x = \frac{3}{2}$ ή

Kαλησπέρα Δημήτρη τρίτωσε το κακό....εννοώ κάποιο σκορ ...ξέρεις εσύ και προφανώς σε αστειεύομαι .....

Η δοθείσα εξίσωση γράφεται

$\dfrac{5(x-3)}{\sqrt{x+1}+2\sqrt{4-x}}=\dfrac{5(x-3)}{\sqrt{2x^{2}+18}}\Leftrightarrow x=3,\sqrt{2x^{2}+18}=\sqrt{x+1}+2\sqrt{4-x},(1),-1\leq x\leq 4, (1)\Leftrightarrow 2x^{2}+3x+1=4\sqrt{x+1}\sqrt{4-x}\Leftrightarrow (x+1)(2x+1)=2\sqrt{(x+1)}\sqrt{4-x}\Leftrightarrow (x+1)^{2}(x+\dfrac{1}{2})^{2}=4(x+1)(4-x)\Leftrightarrow x=-1,(x+1)(x+\dfrac{1}{2})^{2}=4(4-x)\Leftrightarrow 4x^{3}+8x^{2}+21x-63=0\Leftrightarrow (x-\dfrac{3}{2})(4x^{2}+14x+42)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$

Γιάννης

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #153

dimplak έγραψε: 62.

$(x-2)(5x^2 + 10x -34) = 18 \sqrt{5x-1} \sqrt[3]{x-1} - 27x$

Απάντηση:

Κάνουμε τις πράξεις και έχουμε:

$5x^3+68=18\sqrt{5x-1}\sqrt[3]{x-1}+27x$

Καταρχάς θεωρούμε ότι $\sqrt[3]{x-1}\geq 0$ άρα $x\geq 1$

Από AM-GM προκύπτει ότι $5x-1+9=5x+8\geq 2\sqrt{9(5x-1)}$ (1) με ισότητα όταν 5x-1=9

, δηλαδή όταν x=2

και ότι $x-1+1+1=x+1\geq 3\sqrt[3]{(x-1)\cdot 1\cdot 1}$ (2) με ισότητα όταν x-1=1

, δηλαδή όταν x=2

Πολλαπλασιάζουμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και προκύπτει ότι:

$(5x+8)(x+1)\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}\Leftrightarrow$

$5x^2+13x+8\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}\Leftrightarrow$

$5x^2+40x+8\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}+27x$ (3)

Ακόμη θα αποδείξουμε ότι: $5x^3+68\geq 5x^2+40x+8\Leftrightarrow x^3+12\geq x^2+8x$

Θέτουμε x=y+1

, όπου

θετικός πραγματικός. Έχουμε:

$(y+1)^3+12\geq (y+1)^2+8(y+1)\Leftrightarrow y^3+2y^2+4\geq 7y$

Όμως πάλι από AM-GM προκύπτει ότι $y^3+1+1\geq 3y$ (4) με ισότητα όταν y=1

και ότι $2y^2+2\geq 4y$ (5) με ισότητα όταν y=1

.

Προσθέτοντας τις σχέσεις (4) και (5) κατά μέλη προκύπτει ότι $y^3+2y^2+4\geq 7y$ με ισότητα όταν y=1

.

Άρα $5x^3+68\geq 5x^2+40x+8$ με ισότητα όταν x=2

(6)

Από τις σχέσεις (3) και (6) προκύπτει ότι

$5x^3+68\geq 5x^2+40x+8\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}+27x\Leftrightarrow$

$5x^3+68\geq 2\sqrt{9(5x-1)}\cdot 3\sqrt[3]{(x-1)}+27x=18\sqrt{5x-1}\sqrt[3]{x-1}+27x$ , με ισότητα όταν x=2

.

Άρα η λύση στην αρχική εξίσωση είναι $\boxed{x=2}$

STOPJOHN · #154

dimplak έγραψε: 65.

$2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{x^2 + x + 1} = \frac{-x^2 + 3x + 7}{x^2 + 6x + 6}$

Απάντηση:

Η δοθείσα εξίσωση γράφεται

$\dfrac{-x^{2}+3x+7}{2\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+x+1}}=\dfrac{-x^{2}+3x+7}{x^{2}+6x+6},(1),x\geq -2 (1)\Leftrightarrow -x^{2}+3x+7=0,(2), x^{2}+6x+6=2\sqrt{x+2}-\sqrt{x^{2}+x+1},(3)$
Οι ρίζες της εξίσωσης (2)

μηδενίζουν το δεύτερο μέλος στην αρχική εξίσωση ,με πρώτο μέλος θετικό άρα δεν είναι δεκτές .

$(3)\Leftrightarrow 4\sqrt{x+2}\sqrt{x^{2}+x+1}}=3-x\Leftrightarrow 16x^{3}+47x^{2}+54x+23=0\Leftrightarrow x=-1,16x^{2}+31x+23=0,\Delta <0$

Γιάννης

dimplak · #155

68.

$2 \sqrt{10 - x^2} + 2x ( 1 + \sqrt{10 - x^2}) = 14$

Απάντηση: x = 1

ή

STOPJOHN · #156

dimplak έγραψε: 68.

$2 \sqrt{10 - x^2} + 2x ( 1 + \sqrt{10 - x^2}) = 14$

Απάντηση: ή

Kαλημέρα Δημήτρη
Η εξίσωση γράφεται
$\sqrt{10-x^{2}}+x(1+\sqrt{10-x^{2}})=7\Leftrightarrow \sqrt{10-x^{2}}=\dfrac{7-x}{x+1}\Leftrightarrow x^{4}+2x^{3}-8x^{2}-34x+39=0\Leftrightarrow (x-1)(x-3)(3x^{2}+12x+31)=0\Leftrightarrow x=1,x=3,3x^{2}+12x+31>0, -1<x<7$

Γιάννης

dimplak · #157

69.

$5x^2 - 7x + 3 = 3 \sqrt{x^3 + 1}$

Απάντηση: x=0

ή

dimplak · #158

70.

$\sqrt{x+1} \sqrt{x+2} + \sqrt{x+2} \sqrt{x+3} + \sqrt{x+3} \sqrt{x+1} = \sqrt{x^2 + 1}$

Απάντηση: x = - 1

dimplak · #159

71.

$\frac{ \sqrt{x + 1 - x \sqrt{2}} + \sqrt{2x - 1 + x \sqrt{2}}}{\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} - \sqrt{x - \sqrt{x+1}}} = 2$

Απάντηση: x = 2

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #160

dimplak έγραψε: 69.

$5x^2 - 7x + 3 = 3 \sqrt{x^3 + 1}$

Απάντηση: ή

Πρέπει $x^3+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1$ .

Επειδή στο τριώνυμο του αριστερού μέλους είναι D=-11

, ισχύει ότι 5x^2 - 7x + 3 >0

Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε:

$25x^4+49x^2+9-70x^3-42x+30x^2=9x^3+9 \Leftrightarrow \\ 25x^4-79x^3+79x^2-42x=0 \Leftrightarrow \\ x(25x^3-79x^2+79x-42)=0 \Leftrightarrow \\ x(25x^3-2 \cdot 25x^2 - 29x^2+2 \cdot 29x + 21x-2 \cdot 21)=0 \Leftrightarrow \\ x(x-2)(25x^2-29x+21)=0$

Η διακρίνουσα στο τριώνυμο

είναι αρνητική. Άρα οι μόνες λύσεις είναι x=0

ή

.

Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση