Διπλο-παραμετρικά αντίθετες

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές των παραμέτρων a,b

, για τις οποίες μεταξύ των ριζών της εξίσωσης

$\left ( a^2+2ab -b^2 -7\right )^2 -(2a^2-5ab +b^2+1) \left ( x-7 \right) 5^{x} + \tan^2 x =0$

υπάρχουν δυο διαφορετικές με ίση απόλυτη τιμή.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, Τμήμα Χημείας, 2004.

#2

Εκτός της γραφικής λύσης, πως θα δείξουμε ότι η επόμενη εξίσωση δεν έχει θετική ρίζα;

$25^x=\dfrac{7+x}{7-x}$

Al.Koutsouridis · #3

rek2 έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 18, 2022 7:29 pm
Εκτός της γραφικής λύσης, πως θα δείξουμε ότι η επόμενη εξίσωση δεν έχει θετική ρίζα;

$25^x=\dfrac{7+x}{7-x}$

Νομίζω πέσαμε στην περίπτωση! Η άσκηση είναι από τις εισαγωγικές εξετάσεις στο τμήμα χημείας του κρατικού πανεπιστημίου της Μόσχας. Έβαλα προς λύση μια από τις εκδόσεις της άσκησης. Η άλλη ήταν (πρώτη):

Να βρείτε όλες τις τιμές των παραμέτρων a,b

, για τις οποίες μεταξύ των ριζών της εξίσωσης

$\left ( a^2-ab +b^2 -3\right )^2 -(4a^2-4-b^2+2ab) \left ( x+1 \right) 2^{x} + \sqrt{\cos x} =0$

υπάρχουν δυο διαφορετικές με ίση απόλυτη τιμή.

Χρησιμοποίησα το περιοδικό "Μαθηματικά στο Σχολείο" και το βιβλίο του Β.Β. Τκατσούκ. "Τα μαθηματικά του υποψηφίου" και στις δύο πηγές έχει την δεύτερη έκδοση με (x-7)5^x

, αλλά πιο πιθανόν βλέποντας και την πρώτη έκδοση του θέματος το σωστό να είναι (x+7)5^x

. Εκτός αν όντως χαντάκωσαν τους υποψηφίους

.

Ας λύσουμε λοιπόν αρχικά με (x+7)5^x

στην αρχική άσκσηση ή την πρώτη έκδοση του θέματος όπως είναι διατυπωμένη παραπάνω . Και για όσους θέλουν μπορούν να προσπαθήσουν να δείξουν μη γραφικά την απορία του κ. Κώστα, πιθανόν εκτός φακέλου.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 1:31 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές των παραμέτρων , για τις οποίες μεταξύ των ριζών της εξίσωσης

$\left ( a^2+2ab -b^2 -7\right )^2 -(2a^2-5ab +b^2+1) \left ( x-7 \right) 5^{x} + \tan^2 x =0$

υπάρχουν δυο διαφορετικές με ίση απόλυτη τιμή.

Πηγή: Εισαγωγικές εξετάσεις Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, Τμήμα Χημείας, 2004.

Αφού, λοιπόν, δείξουμε ότι η εξίσωση, που συζητάμε, δεν έχει θετική ρίζα, συμπεραίνουμε, τελικά, ότι

$a^2+2ab -b^2 -7=2a^2-5ab +b^2+1= \tan x =0$

Βρίσκουμε $a=\pm 2,b=\pm 1$ και τότε φανερά, αφού $\tan x=0=\tan(- x)$ , μεταξύ των ριζών της εξίσωσης υπάρχουν δυο διαφορετικές με ίση απόλυτη τιμή.

Διπλο-παραμετρικά αντίθετες

Διπλο-παραμετρικά αντίθετες

Re: Διπλο-παραμετρικά αντίθετες

Re: Διπλο-παραμετρικά αντίθετες

Re: Διπλο-παραμετρικά αντίθετες

Μέλη σε σύνδεση