Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

Συντονιστής: exdx

xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#181

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Κυρ Ιούλ 05, 2020 11:51 pm

dimplak έγραψε:
Τρί Νοέμ 29, 2016 11:52 pm
51.

\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}

Απάντηση: x=1
Δεν παίρνω περιορισμούς.
\sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x} = \sqrt{10 + 4 \sqrt{x} - 5x}\Leftrightarrow 2+3\sqrt{x}-x+6-2\sqrt{x}-3x+ 2 \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} \cdot \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x}=10+4\sqrt{x}-5x\Leftrightarrow
2 \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x} \cdot \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x}=2+3\sqrt{x}-x\Leftrightarrow \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x}=0 \vee 2 \cdot \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x}= \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x}\Leftrightarrow
2+3\sqrt{x}-x=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{13+3\sqrt{17}}{2}
2 \cdot \sqrt{6 - 2 \sqrt{x} - 3x}= \sqrt{2 + 3 \sqrt{x} - x}\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#182

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιούλ 06, 2020 9:56 am

Άσκηση 77 .
Να λυθεί η εξίσωση : \sqrt{7x+1}+\sqrt{5x-9}-\dfrac{17}{2}=\sqrt{\dfrac{7x+1}{5x-9}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12330
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#183

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 06, 2020 10:28 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 06, 2020 9:56 am
Άσκηση 77 .
Να λυθεί η εξίσωση : \sqrt{7x+1}+\sqrt{5x-9}-\dfrac{17}{2}=\sqrt{\dfrac{7x+1}{5x-9}
Πεδίο ορισμού x> 9/5. Εκεί το αριστερό μέλος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση και το δεξί, δηλαδή το \sqrt {\dfrac {7}{5} + \dfrac {68} {5(5x-9)} } είναι γνήσια φθίνουσα (άμεσο). Άρα έχουμε το πολύ μία ρίζα. Προφανής ρίζα η x=5, άρα και η μοναδική.


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#184

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Ιούλ 08, 2020 10:26 pm

dimplak έγραψε:
Τρί Νοέμ 29, 2016 9:56 am
48.

\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} + \sqrt{2x-5} = 2x^2 - 5x

Απάντηση: 3
Με \frac{5}{2}\leq x\leq 4 έχουμε:
Αφαιρούμε το 3 και από τα δύο μέλη, το σπάμε σε μονάδες και αντίστοιχα παίρνουμε συζυγείς στο α΄μέλος
\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x} + \sqrt{2x-5}-3 = 2x^2 - 5x - 3\Leftrightarrow \sqrt{x-2} - 1 + \sqrt{4-x} - 1 + \sqrt{2x-5} - 1 = 2x^2 - 5x - 3\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x-2} + 1} + \frac{3-x}{\sqrt{4-x} + 1} + \frac{2(x-3)}{\sqrt{2x-5} + 1} = \left (2x+1 \right )\left ( x-3 \right )\Leftrightarrow x=3 \vee 2x+1+\frac{1}{\sqrt{4-x} + 1}-\frac{1}{\sqrt{x-2} + 1}-\frac{2}{\sqrt{2x-5} + 1}=0
προκύπτει το x=3 μοναδική λύση γιατί η άλλη παράσταση είναι θετική.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#185

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Σάβ Ιούλ 11, 2020 9:24 pm

dimplak έγραψε:
Πέμ Νοέμ 10, 2016 10:20 am
25.

2x \sqrt{2-x} + (x-1) \sqrt{x+1} = 3 \sqrt{2 + x - x^2}
Με -1\leq x\leq 2 έχουμε


2x \sqrt{2-x} + (x-1) \sqrt{x+1} = 3 \sqrt{2 + x - x^2}\Leftrightarrow 2x \sqrt{2-x}- 2 \sqrt{2 + x - x^2}+ (x-1) \sqrt{x+1} - \sqrt{2 + x - x^2}=0\Leftrightarrow 2 \sqrt{2-x}\left ( x-\sqrt{x+1} \right )+\sqrt{x+1}\left ( x-1- \sqrt{2-x} \right )=0 \Leftrightarrow

\frac{2\sqrt{2-x}\cdot \left ( x^2-x-1 \right )}{x+\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x+1}\cdot \left ( x^2-x-1 \right )}{x-1+\sqrt{2-x}}=0\Leftrightarrow (x^2-x-1) \left (\frac{2\sqrt{2-x}}{x+\sqrt{x+1}}+\frac{\sqrt{x+1}}{x-1+\sqrt{2-x}} \right )=0\Leftrightarrow
x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#186

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Τρί Ιούλ 14, 2020 12:36 pm

dimplak έγραψε:
Τετ Δεκ 14, 2016 8:56 am
72.

2x - 1 = \sqrt{2-x} \sqrt{10 - 4x} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{6 - 2x} + 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}

Απάντηση: \frac{911}{480}
Καλημέρα. Μια προσπάθεια...
Πρώτα από όλα έχουμε περιορισμό: x\in \left  [ \dfrac{1}{2},2 \right ]
Οπότε:
2x - 1 = \sqrt{2-x} \sqrt{10 - 4x} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{6 - 2x} + 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow 2x - 1 = \sqrt{2-x} \sqrt{2(5 - 2x)} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{2(3 - x)} + 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow 2x - 1 - 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}= \sqrt{2-x} \sqrt{2(5 - 2x)} + \sqrt{5 - 2x} \sqrt{2(3 - x)} \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow 2x - 1 - 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}= \sqrt{2(5 - 2x)}  \left( \sqrt{2-x}  +  \sqrt{3 - x} \right ) \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \left(2x - 1 - 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}\right )\left( \sqrt{2-x}  -  \sqrt{3 - x} \right ) = \sqrt{2(5 - 2x)}  \left( \sqrt{2-x}  +  \sqrt{3 - x} \right )\left( \sqrt{2-x}  -  \sqrt{3 - x} \right ) \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \left(2x - 1 - 2 \sqrt{3 -x} \sqrt{2 - x}\right )\left( \sqrt{3-x}  -  \sqrt{2 - x} \right ) = \sqrt{2(5 - 2x)}   \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow  (2x - 1) \sqrt{3-x} + 2(2-x)  \sqrt{3 - x} - (2x - 1) \sqrt{2-x}   -2(3-x) \sqrt{2-x}  = \sqrt{2(5 - 2x)}   \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow  3 \sqrt{3-x} -5 \sqrt{2-x}   = \sqrt{2(5 - 2x)}   \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow  \left(3 \sqrt{3-x} -5 \sqrt{2-x} \right )^2  = 2(5 - 2x)   \Leftrightarrow

\Leftrightarrow  67-30x=30 \sqrt{(3-x)(2-x)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow x=\dfrac{911}{480}.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#187

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Σάβ Ιούλ 18, 2020 7:07 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 04, 2020 9:03 am
dimplak έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am
20.

(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})
Δεν νομίζω ότι λύνεται.
Μία προσπάθεια (δεν είμαι σίγουρος)
Για x\in [-1,1]

\sqrt{1+x}=\sqrt{\left (1+x \right )\cdot 1} \leq \frac{1+x+1}{2}=\frac{x+2}{2}
\sqrt{1-x}=\sqrt{\left (1-x \right )\cdot 1}\leq \frac{1-x+1}{2}=\frac{2-x}{2}
Άρα έχουμε ότι
\left ( 2x+3 \right )^{2}\leq 4(\frac{2+x}{2}+\frac{2-x}{2})=8
με την ισότητα να ισχύει όταν
(2x+3)^2=8\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-\frac{3}{2}
Screenshot_1.png
Screenshot_1.png (22.65 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#188

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιούλ 18, 2020 9:19 pm

xr.tsif έγραψε:
Σάβ Ιούλ 18, 2020 7:07 pm
george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 04, 2020 9:03 am
dimplak έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am
20.

(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})
Δεν νομίζω ότι λύνεται.
Μία προσπάθεια (δεν είμαι σίγουρος)
Για x\in [-1,1]

\sqrt{1+x}=\sqrt{\left (1+x \right )\cdot 1} \leq \frac{1+x+1}{2}=\frac{x+2}{2}
\sqrt{1-x}=\sqrt{\left (1-x \right )\cdot 1}\leq \frac{1-x+1}{2}=\frac{2-x}{2}
Άρα έχουμε ότι
\left ( 2x+3 \right )^{2}\leq 4(\frac{2+x}{2}+\frac{2-x}{2})=8
με την ισότητα να ισχύει όταν
(2x+3)^2=8\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-\frac{3}{2}Screenshot_1.png
Δυστυχώς η x=\sqrt{2}-\frac{3}{2}
δεν επαληθεύει την εξίσωση.

Είμαι πολύ περίεργος να δω λύση από τον θεματοδότη.


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#189

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Σάβ Ιούλ 18, 2020 10:07 pm

Δίκιο έχεις Σταύρο. Αν και είχα ενδοιασμούς δεν έλεγξα την λύση.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#190

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Κυρ Ιούλ 19, 2020 11:38 pm

dimplak έγραψε:
Κυρ Δεκ 04, 2016 11:27 am
57.

\sqrt{5x^2 + 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5 \sqrt{x+1}

Απάντηση: x=8 ή x = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}
Για x\geq 5 έχουμε:
\sqrt{5x^2 + 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5 \sqrt{x+1}\Leftrightarrow \sqrt{5x^2 + 14x + 9} = 5 \sqrt{x+1} + \sqrt{x^2 - x - 20}\Leftrightarrow 5x^2+14x+9=25x+25+x^2-x-20+10\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x^2 - x - 20}\Leftrightarrow
2x^2-5x+2=5\sqrt{(x+1)(x-5)(x+4)}\Leftrightarrow 2x^2-8x-10+3x+12=5\sqrt{(x+1)(x-5)}\sqrt{x+4}\Leftrightarrow
2(x^2-4x-5)+3(x+4)=5\sqrt{x^2-4x-5}\sqrt{x+4}\Leftrightarrow 2\frac{x^2-4x-5}{x+4} + 3 =5\sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}
Αν θέσουμε την \sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}=t\geq 0 έχουμε ότι
2t^2-5t+3=0\Leftrightarrow t=1 \vee t=\frac{3}{2} και τότε έχουμε
Για t=1 έχουμε \sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}=1\Leftrightarrow x^2-4x-5=x+4\Leftrightarrow x^2-5x-9=0\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}
Για t=\frac{3}{2} έχουμε \sqrt{\frac{x^2-4x-5}{x+4}}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 4x^2-25x-56=0\Leftrightarrow x=8


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#191

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Ιούλ 22, 2020 9:06 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Παρ Ιούλ 03, 2020 7:54 pm
rek2 έγραψε:
Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm
Υπάρχουν αναπάντητες;
Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις 12,13,20,25,26,29,38,39,42,43,48,49,50,55,57,58,61,63,64,71,72.
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.
Άλυτες παραμένουν οι:
12,13,20,26,29,38,50,55,58,61,63,64,71.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#192

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Ιούλ 22, 2020 9:50 pm

dimplak έγραψε:
Τρί Νοέμ 29, 2016 9:47 pm
50.

\sqrt[3]{3x-5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25

Απάντηση: x=2 ή x= \frac{5 \pm \sqrt{3}}{4}
\sqrt[3]{3x-5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x-5} = (2x-3)^3 - x + 2
Θέτουμε το \sqrt[3]{3x-5} = 2y-3 και έχουμε ότι:
(2y-3)^2=3x-5 και (2x-3)^3=2y+x-5
Τις αφαιρούμε, οπότε προκύπτει
(2x-3)^3-(2y-3)^3=2y-2x\Leftrightarrow (2x-2y)\cdot [(2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2]=2y-2x\Leftrightarrow x=y \vee [(2x-3)^2+(2x-3)(2y-3)+(2y-3)^2+1]=0
'Αρα x=y αφού η αγκύλη είναι θετικός. Έτσι έχουμε:
(2x-3)^3=3x-5\Leftrightarrow 8x^3-36x^2+51x-22=0\Leftrightarrow x=2 \vee 8x^2-20x+11=0\Leftrightarrow x=2 \vee x=\frac{5\pm \sqrt{3}}{4}


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#193

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Ιούλ 22, 2020 9:57 pm

τώρα που το βλέπω , όμοια με την 50 πρέπει να λύνεται και η 38


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1897
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#194

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Ιούλ 23, 2020 11:37 pm

xr.tsif έγραψε:
Τετ Ιούλ 22, 2020 9:06 pm
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Παρ Ιούλ 03, 2020 7:54 pm
rek2 έγραψε:
Παρ Ιούλ 03, 2020 6:42 pm
Υπάρχουν αναπάντητες;
Με ένα κάπως πρόχειρο ψάξιμο βρήκα τις 12,13,20,25,26,29,38,39,42,43,48,49,50,55,57,58,61,63,64,71,72.
Βέβαια υπάρχει περίπτωση να ξέχασα κάποιες ή κάποιες από αυτές να λύθηκαν αλλά να μην το πρόσεξα.
Άλυτες παραμένουν οι:
12,13,20,26,29,38,50,55,58,61,63,64,71.
Λύση για την 13;;;


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#195

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Δευ Ιούλ 27, 2020 11:17 pm

dimplak έγραψε:
Πέμ Δεκ 01, 2016 9:07 am
55.

\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3x}}} = x

Απάντηση: \frac{\sqrt{41} - 3}{2}
Μία προσπάθεια
Αν θέσουμε: \sqrt{8 - 3\sqrt{8 - 3x}}=y
και \sqrt{8 - 3x}=z
τότε έχουμε x=\sqrt{8 - 3y} , y=\sqrt{8 - 3z} και z= \sqrt{8 - 3x}
Για τα οποία ισχύει 0\leq x\leq y\leq z Με την ισότητα να ισχύει όταν x=y=z
Άρα x=z\Leftrightarrow x=\sqrt{8-3x}\Leftrightarrow x^2+3x-8=0\Leftrightarrow x=\frac{-3+\sqrt{41}}{2}


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1997
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#196

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Πέμ Ιούλ 30, 2020 10:07 pm

dimplak έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am
20.

(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})
Ο Δημήτρης λέει ότι η σωστή εκφώνηση είναι
\frac{8}{9}(x+\frac{3}{2})^2 = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#197

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 31, 2020 12:46 am

xr.tsif έγραψε:
Πέμ Ιούλ 30, 2020 10:07 pm
dimplak έγραψε:
Δευ Νοέμ 07, 2016 10:43 am
20.

(2x+3)^2 = 4 ( \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})
Ο Δημήτρης λέει ότι η σωστή εκφώνηση είναι
\frac{8}{9}(x+\frac{3}{2})^2 = \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}
Αρση απόκριψης
προφανής λύση το 0.Επειδή η μία είναι κυρτή και η άλλη κοίλη εύκολα βλέπουμε ότι είναι μοναδική. Ας δώσει ο dimplak λύση εντός φακέλου.

Λύση.
Θέτουμε f(x)=\frac{8}{9}(x+\frac{3}{2})^2 ,g(x)= \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}
Η f είναι κυρτή και η g κοίλη στο πεδίο ορισμού της.
Παρατηρούμε ότι f(0)=g(0)=2
Είναι g(x)< 2 για 0< x\leq 1
και f(x)>2για 0< x\leq 1
Ετσι στο (0,1] δεν υπάρχει λύση.
Είναι g(-1)=\sqrt{2},f(-1)=\frac{2}{9}
Ετσι στο [-1,0) η g είναι πάνω από το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα (-1,\sqrt{2}) και(0,2)
ενώ η f κάτω από το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα (-1,\frac{2}{9}) και(0,2).
Αρα και στο [-1,0) δεν υπάρχει λύση.
Τελικά μοναδική λύση η x=0


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1162
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εξισώσεις με ριζικά - Συλλογή ασκήσεων

#198

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Αύγ 02, 2020 12:26 am

dimplak έγραψε:
Τρί Δεκ 13, 2016 8:52 am
69.

5x^2 - 7x + 3 = 3 \sqrt{x^3 + 1}

Απάντηση: x=0 ή x=2
Αν και την έλυσε ο Διονύσης στη δημοσίευση #160 με ύψωση στο τετράγωνο, ας δούμε την τεχνική που επιλύει παρόμοιες εξισώσεις.

Η μέθοδος είναι η αναγωγή σε ομογενής εξίσωση.

Η εξίσωση γράφεται

5x^2 - 7x + 3 = 3 \sqrt{x^3 + 1} \Leftrightarrow 5x^2-7x+3=3 \sqrt{(x+1)(x^2-x+1)} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 5(x^2-x+1)-2(x+1) = 3 \sqrt{x+1} \sqrt{ x^2-x+1}

Θέτουμε a =\sqrt{x^2-x+1} και b=\sqrt{x+1}. Οπότε η εξίσωση γίνεται

5a^2-2b^2=3ab η οποία είναι ομογενής. Διαιρούμε με a^2 και έχουμε

5-2\left ( \dfrac{b}{a} \right)^2=3 \dfrac{b}{a}.

Θέτουμε t=\dfrac{b}{a} και η εξίσωση γίνεται

5-2t^2=3t \Leftrightarrow 2t^2+3t-5=0 \Leftrightarrow t=1 ή t=-\dfrac{5}{2}.

Η περίπτωση t=-\dfrac{5}{2} απορρίπτεται. Για t=1 έχουμε

x^2-x+1=x+1 \Leftrightarrow x(x-2) =0 \Leftrightarrow x=0 ή x=2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες