Τριγωνομετρική και λίγο...

Al.Koutsouridis · #1

Να λύσετε την εξίσωση

$\cos \left ( \pi \left ( x+7\sqrt{x} \right ) \right ) \cdot \sin \left ( \dfrac{\pi}{2} \left ( 4x+\sqrt{x} \right ) \right ) = 1$ .

#2

Καλησπέρα σε όλους. Θα το φτάσω ως ένα σημείο.

Είναι $\displaystyle \cos \left( {\pi \left( {x + 7\sqrt x } \right)} \right) \le 1\;\;\;\; \wedge \;\;\;\sin \left( {\frac{\pi }{2}\left( {4x + \sqrt x } \right)} \right) \le 1$

οπότε $\displaystyle \cos \left( {\pi \left( {x + 7\sqrt x } \right)} \right)\cdot\sin \left( {\frac{\pi }{2}\left( {4x + \sqrt x } \right)} \right) \le 1$ με το ίσον όταν $\displaystyle \cos \left( {\pi \left( {x + 7\sqrt x } \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow x + 7\sqrt x = 2k,\;\;k \in Z$

και $\displaystyle \sin \left( {\frac{\pi }{2}\left( {4x + \sqrt x } \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x + \frac{1}{2}\sqrt x = 2m + \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4x + \sqrt x = 4m + 1,\;\;m \in Z$

Τώρα, ότι θέλει ακέραιες θετικές λύσεις το βλέπω, το ότι το x = 1

είναι λύση επίσης φαίνεται. Γενική λύση δεν μπορώ να δώσω.

2η προσπάθεια:
$\displaystyle \cos \left( {\pi \left( {x + 7\sqrt x } \right)} \right)\cdot\sin \left( {\frac{\pi }{2}\left( {4x + \sqrt x } \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\sin \left( {2\pi x + \frac{{\pi \sqrt x }}{2}} \right) \cdot \cos \left( {\pi x + 7\sqrt x \pi } \right) = 2$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sin \left( {3\pi x + \sqrt x \frac{{15\pi }}{2}} \right) + \sin \left( {\pi x - \frac{{13\pi }}{2}\sqrt x } \right) = 2$ .

Οπότε πρέπει $\displaystyle \sin \left( {3\pi x + \sqrt x \frac{{15\pi }}{2}} \right) = 1\;\;\; \wedge \;\;\;\sin \left( {\pi x - \frac{{13\pi }}{2}\sqrt x } \right) = 1$

Είναι $\displaystyle sin\left( {3\pi x + \sqrt x \frac{{15\pi }}{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow 3\pi x + \sqrt x \frac{{15\pi }}{2} = 2k\pi + \frac{\pi }{2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow 6x + 15\sqrt x = 4k + 1,\;\;k \in Z$

και $\displaystyle \sin \left( {\pi x - \frac{{13\pi }}{2}\sqrt x } \right) = 1 \Leftrightarrow \pi x - \frac{{13\pi }}{2}\sqrt x = 2m\pi + \frac{\pi }{2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2x - 13\sqrt x = 4m + 1,\;\;m \in Z$ ...

edit: Ευχαριστώ τους Θάνο Μάγκο και Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τις διακριτικές παρεμβάσεις τους. Το γινόμενο μπορεί να πάρει και την τιμή

όταν και οι δύο παράγοντες είναι ίσοι με

. Δεν συνέχισα αυτήν την περίπτωση γιατί οδηγούμαι επίσης σε σχέσεις (αναζήτησης ακεραίων λύσεων) με τις οποίες δεν έχω τη δέουσα οικειότητα...

Τριγωνομετρική και λίγο...

Τριγωνομετρική και λίγο...

Re: Τριγωνομετρική και λίγο...

Μέλη σε σύνδεση