Εύρεση ακολουθίας

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 741
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Εύρεση ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Ιούλ 20, 2021 7:03 pm

Την είδα στο group Μαθηματικοί Κύπρου στο fb αλλά εκεί ζητούσε μόνο τη σύγκλιση.

Η ακολουθία (a_n) ικανοποιεί την αναδρομική σχέση a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n},a_1=1.

Να βρεθεί ο a_n.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13479
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 20, 2021 7:26 pm

Απέσυρα την λύση μου γιατί δεν είχα προσέξει ότι απευθύνεται μόνο σε φοιτητές.

Θα την προσθέσω σε λίγες μέρες, αν χρειαστεί και αν ... δεν το ξεχάσω.


Άβαταρ μέλους
llenny
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Τρί Απρ 23, 2019 11:10 pm
Τοποθεσία: Σητεία Κρήτης

Re: Εύρεση ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από llenny » Τετ Ιούλ 21, 2021 8:16 pm

Έχω μία λύση με χαρακτηριστικές εξισώσεις και τα γνωστά που κάνουμε όταν έχουμε τέτοιου είδους σχέσεις, βέβαια είναι κάπως "άσχημη". Αν υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος, αν είναι δυνατόν να μου στείλει κάποιος Π.Μ. μήπως βρω τίποτα άλλο αλλιώς θα την ανεβάσω αργότερα σήμερα ή αύριο.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 741
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εύρεση ακολουθίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Ιούλ 21, 2021 9:29 pm

Ανοικτή για όλους.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13479
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εύρεση ακολουθίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 21, 2021 10:20 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τρί Ιούλ 20, 2021 7:03 pm
Την είδα στο group Μαθηματικοί Κύπρου στο fb αλλά εκεί ζητούσε μόνο τη σύγκλιση.

Η ακολουθία (a_n) ικανοποιεί την αναδρομική σχέση a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n},a_1=1.

Να βρεθεί ο a_n.
Για την Fibonacci, \displaystyle{F_0=F_1=1,\, F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}, εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι a_n= \dfrac {F_{n-1}}{F_n}. Π.χ. το επαγωγικό βήμα είναι

\displaystyle{a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n} = \dfrac{1}{1+\dfrac {F_{n-1}}{F_n}} = \dfrac {F_{n}}{F_n+F_{n-1}}=  \dfrac {F_{n}}{F_{n+1}}}.

Το όριο αυτού είναι γνωστό και απλό ότι είναι \dfrac {1}{\phi }.

Σχόλιο: Είναι η λύση που είχα αναρτήσει παραπάνω, πριν της ώρας της. Τώρα νομίζω ότι νομιμοποιούμαι να την αναρτήσω εκ νέου.


kkala
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Εύρεση ακολουθίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Πέμ Ιούλ 22, 2021 11:20 am

Οι μαθητές ίσως θα μπορούσαν να βοηθηθούν ανατρέχοντας στην παλιά σχολική "Θεωρητική Γεωμετρία" του Ν. Δ, Νικολάου (υπάρχει σε pdf και στον κατάλογο Parmenides52), υποσημείωση σελίδων 223-224. Μήπως το αναφερόμενο εκεί "συνεχές κλάσμα" αντιπροσωπεύει την αναδρομική σχέση της #1 (Λάμπρος Κατσάπας);


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 741
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εύρεση ακολουθίας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Ιούλ 22, 2021 7:48 pm

kkala έγραψε:
Πέμ Ιούλ 22, 2021 11:20 am
Οι μαθητές ίσως θα μπορούσαν να βοηθηθούν ανατρέχοντας στην παλιά σχολική "Θεωρητική Γεωμετρία" του Ν. Δ, Νικολάου (υπάρχει σε pdf και στον κατάλογο Parmenides52), υποσημείωση σελίδων 223-224. Μήπως το αναφερόμενο εκεί "συνεχές κλάσμα" αντιπροσωπεύει την αναδρομική σχέση της #1 (Λάμπρος Κατσάπας);
Θέλετε να βάλετε μια εικόνα της υποσημείωσης στην οποία αναφέρεστε; Έψαξα αλλά δεν το εντόπισα δυστυχώς. Η λύση μου σχεδόν ταυτίζεται με του κ.Λαμπρου μόνο που δεν έχω κάνει καμία αναφορά στην Fibonacci. Είναι φανερό ότι η ακολουθία μπορεί να γράφει σαν πηλίκο δύο πολυωνύμων του n. Οδηγούμαστε σε ένα σύστημα το οποίο λύνουμε.


kkala
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Εύρεση ακολουθίας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Παρ Ιούλ 23, 2021 1:01 pm

Επισυνάπτονται φωτογραφίες (κυριολεκτικά) των δύο ζητουμένων σελίδων της σχολικής Γεωμετρίας Ν. Δ. Νικολάου. Πρέπει πρώτα να διαβασθεί η κάτω σελίδα.
Το πλήρες βιβλίο μπορεί να κατέβει σε αρχείο pdf από τη συλλογή του Parmenides52, "παλιά σχολικά βιβλία γεωμετρίας" <https://parmenides52.blogspot.com/p/school.html>, "Θεωρητική Γεωμετρία" του Νικολάου Δ. Νικολάου (ΟΕΔΒ, 1951-1974).
Στην εν λόγω σημείωση ο Νικολάου διατυπώνει την εξίσωση της χρυσής τομής και στην συνέχεια δίνει σαν λύση την αναδρομική ακολουθία της #1, χωρίς να αποδεικνύει ότι συγκλίνει (απευθύνεται σε μαθητές 15-17 χρόνων) Ακολουθεί δηλαδή μια πορεία αντίστροφη αυτής που προσπαθείται στην παρούσα άσκηση.
Κατά προσωπική μου ερμηνεία, σκοπός του είναι να καλύψει την περίπτωση όπου οι μαθητές δεν είχαν ακόμα διδαχθεί λύση δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Σημειώνεται ότι διδάχθηκα και χρυσή τομή και δευτεροβάθμιες εξισώσεις την ίδια σχολική χρονιά (Α' Πρακτικού Λυκείου, 1965). αν και οι δευτεροβάθμιες προηγήθηκαν.
Συνημμένα
P1110619resized.JPG
P1110619resized.JPG (479.42 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές
P1110618resized.JPG
P1110618resized.JPG (443.82 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης