Τελεστές Kuratowski

TrItOs · #1

Πρόταση : Έστω $\displaystyle{\mathbb{X}}$ σύνολο $\displaystyle{f : P \big( \mathbb{X} \big) \rightarrow P \big( \mathbb{X} \big)}$ συνάρτηση τέτοια ώστε:

(1) $\displaystyle{f \big( \emptyset \big) = \emptyset}$

(2) $\displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : A \subseteq f(A)}$

(3) $\displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : f \big( f(A) \big) = f(A)}$

(4) $\displaystyle{\forall A, B \in P \big( \mathbb{X} \big) : f \big( A \cup B \big) = f(A) \cup f(B)}$

Τότε υπάρχει μοναδική τοπολογία $\displaystyle{\tau}$ επί του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ τέτοια ώστε στον τοπολογικό χώρο $\displaystyle{\big( \mathbb{X}, \tau \big)}$ να έχουμε $\displaystyle{Cl(A) = f(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}$

Πρόβλημα : Έστω $\displaystyle{\mathbb{X}}$ σύνολο $\displaystyle{h : P \big( \mathbb{X} \big) \rightarrow P \big( \mathbb{X} \big)}$ συνάρτηση τέτοια ώστε:

$\displaystyle{h \big( \emptyset \big) = \emptyset}$

$\displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \big( A \big) = h \big( A^{c} \big)}$

$\displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \big( h(A) \big) \subseteq h(A)}$

$\displaystyle{\forall A, B \in P \big( \mathbb{X} \big) : A \cap B \cap h \big( A \cap B \big) = A \cap B \cap \big( h(A) \cup h(B) \big)}$

Τότε η $\displaystyle{\tau = \big \{ A - h(A) : A \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \}}$ ορίζει τοπολογία επί του $\displaystyle{\mathbb{X}}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{h(A) = Bd(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}$ .

Απάντηση, όχι ολοκληρωμένη : Θέτουμε $\displaystyle{f(A) = A \cup h(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}$ . Τότε ισχύει:

$\displaystyle{\boxed{f \big( \emptyset \big) = \emptyset \cup h \big( \emptyset \big) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset}}$

$\displaystyle{\boxed{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : A \subseteq A \cup h(A) = f(A)}}$

$\displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \Bigg[ h \bigg( h^{-1} \big( f(A) \big) \bigg) \Bigg] \subseteq h \bigg( h^{-1} \big( f(A) \big) \bigg) \Rightarrow h \big( f(A) \big) \subseteq f(A) \Rightarrow \boxed{f \big( f(A) \big) = f(A) \cup h \big( f(A) \big) = f(A)}}$

$\displaystyle{\forall A, B \in P \big( \mathbb{X} \big) : A \subseteq A \cup B , B \subseteq A \cup B \Rightarrow f(A) \subseteq f \big( A \cup B \big) , f(B) \subseteq f \big( A \cup B \big) \Rightarrow \underline{f(A) \cup f(B) \subseteq f \big( A \cup B \big)}}$

$\displaystyle{\underline{f \big( A \cup B \big) \subseteq f(A) \cup f(B)} \Leftrightarrow A \cup B \cup h \big( A \cup B \big) \subseteq A \cup B \cup h(A) \cup h(B) \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow A^{c} \cap B^{c} \cap \big( h(A) \big)^{c} \cap \big( h(B) \big)^{c} \subseteq A^{c} \cap B^{c} \cap \big[ h \big( A \cup B \big) \big]^{c} \Leftrightarrow A^{c} \cap B^{c} \cap \big( h(A^{c}) \big)^{c} \cap \big( h(B^{c}) \big)^{c} \subseteq A^{c} \cap B^{c} \cap \big[ h \big( A^{c} \cap B^{c} \big) \big]^{c} \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \underline{A \cap B \cap \big( h(A) \big)^{c} \cap \big( h(B) \big)^{c} \subseteq A \cap B \cap \big[ h \big( A^{c} \cap B^{c} \big) \big]^{c}}}$ στη συνέχεια είναι όμως $\displaystyle{A \cap B \subseteq A , A \cap B \subseteq B \Rightarrow h \big( A \cap B \big) \subseteq h(A) , h \big( A \cap B \big) \subseteq h(B) \Rightarrow h \big( A \cap B \big) \subseteq h(A) \cup h(B) \Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow \underline{\big( h(A) \big)^{c} \cap \big( h(B) \big)^{c} \subseteq \big[ h \big( A \cap B \big) \big]^{c}}}$ το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο. Άρα $\displaystyle{\boxed{\forall A, B \in P \big( \mathbb{X} \big) : f \big( A \cup B \big) = f(A) \cup f(B)}}$

Αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχει μοναδική τοπολογία $\displaystyle{\sigma = \big \{ \mathbb{X} - f(B) : B \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} = \big \{ \mathbb{X} - \big( B \cup h(B) \big) : B \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} = \big \{ B^{c} \cap \big( h(B) \big)^{c} : B \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} = \big \{ B^{c} \cap \big( h(B^{c}) \big)^{c} : B \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} =}$
$\displaystyle{= \big \{ A \cap \big( h(A) \big)^{c} : A \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} = \big \{ A - h(A) : A \in P \big( \mathbb{X} \big) \big \} }$ και θα ισχύει ότι $\displaystyle{f(A) = Cl(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}$ και $\displaystyle{Cl(A) = A \cup Bd(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}$ και συνεπώς $\displaystyle{A \cup Bd(A) = A \cup h(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}$ .

$\displaystyle{\rightarrow}$ Ερώτημα : Πως αποδεικνύεται ότι $\displastyle{h(A) = Bd(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}$

$\displaystyle{\rightarrow}$ Δηλαδή αν ισχύει $\displaystyle{A \cup Bd(A) = A \cup h(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}$ πως συνεπάγεται $\displastyle{h(A) = Bd(A), \forall A \in P \big( \mathbb{X} \big)}$

BAGGP93 · #2

Καλημέρα. Με μια πρώτη ματιά (τώρα πίνω καφέ

) η 3η ιδιότητα δεν μου φαίνεται σωστή. (δεν τη βλέπω μάλλον)

Επίσης φαντάζομαι ότι στην πρόταση, σαν τοπολογία $\tau$ έχουμε την $\tau=\left\{X\setminus f(A): A\in P(X)\right\}$ .

Για το ερώτημα στο τέλος, θα το ξανασκεφτώ και θα απαντήσω, εκτός αν απαντήσει κάποιος άλλος.

#3

BAGGP93 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 06, 2021 11:34 am
Καλημέρα. Με μια πρώτη ματιά (τώρα πίνω καφέ ) η 3η ιδιότητα δεν μου φαίνεται σωστή. (δεν τη βλέπω μάλλον)

Επίσης φαντάζομαι ότι στην πρόταση, σαν τοπολογία $\tau$ έχουμε την $\tau=\left\{X\setminus f(A): A\in P(X)\right\}$ .

Για το ερώτημα στο τέλος, θα το ξανασκεφτώ και θα απαντήσω, εκτός αν απαντήσει κάποιος άλλος.

H 3η ιδιότητα που αναφέρεσαι, δηλαδή η

$\displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \big( f(A) \big) \subseteq h(A)}$

είναι προφανές τυπογραφικό σφάλμα. Το σωστό είναι

$\displaystyle{\forall A \in P \big( \mathbb{X} \big) : h \big({\color {red} h}(A) \big) \subseteq h(A)}$ .

Η άσκηση αυτή υπάρχει σε πολλές Τοπολογίες ή στο ίντερνετ, οπότε δεν υπάρχει λόγος να την επαναλάβουμε εδώ λόγω του επίπονου της πληκτρολόγησης. Οι λέξεις κλειδί για να την ψάξει κανείς είναι "Kuratowski closure axioms"

BAGGP93 · #4

Ευχαριστούμε κύριε Λάμπρου.

TrItOs · #5

Υπάρχει δυνατότητα να παραθέσετε το pdf αρχείο ή την ιστοσελίδα ώστε να δω την αναλυτική απόδειξη χωρίς κενά. Ευχαριστώ πολύ.

TrItOs · #6

Λύση, ολοκληρωμένη : $\displaystyle{Bd(A) = Cl(A) \cap Cl(A^{c}) = f(A) \cap f(A^{c}) = \big[ A \cup h(A) \big] \cap \big[ A^{c} \cup h(A^{c}) \big] = }$

$\displaystyle{= \big[ A \cup h(A) \big] \cap \big[ A^{c} \cup h(A) \big] = \Big[ \big( A \cup h(A) \big) \cap A^{c} \Big] \cup \Big[ \big( A \cup h(A) \big) \cap h(A) \Big] = }$

$\displaystyle{= \Big[ \big( A \cap A^{c} \big) \cup \big( A^{c} \cap h(A) \big) \Big] \cup h(A) = \big( A^{c} \cap h(A) \big) \cup h(A) = h(A), \forall A \in P(\amthbb{X})}$

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι $\displaystyle{h(A) \subseteq A \cup h(A)}$ , $\displaystyle{A \cap A^{c} = \emptyset}$ και $\displaystyle{A^{c} \cap h(A) \subseteq h(A)}$ .

BAGGP93 · #7

TrItOs έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 08, 2021 4:52 pm
Λύση, ολοκληρωμένη : $\displaystyle{Bd(A) = Cl(A) \cap Cl(A^{c}) = f(A) \cap f(A^{c}) = \big[ A \cup h(A) \big] \cap \big[ A^{c} \cup h(A^{c}) \big] = }$

$\displaystyle{= \big[ A \cup h(A) \big] \cap \big[ A^{c} \cup h(A) \big] = \Big[ \big( A \cup h(A) \big) \cap A^{c} \Big] \cup \Big[ \big( A \cup h(A) \big) \cap h(A) \Big] = }$

$\displaystyle{= \Big[ \big( A \cap A^{c} \big) \cup \big( A^{c} \cap h(A) \big) \Big] \cup h(A) = \big( A^{c} \cap h(A) \big) \cup h(A) = h(A), \forall A \in P(\amthbb{X})}$

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι $\displaystyle{h(A) \subseteq A \cup h(A)}$ , $\displaystyle{A \cap A^{c} = \emptyset}$ και $\displaystyle{A^{c} \cap h(A) \subseteq h(A)}$ .

ωραίος.

Τελεστές Kuratowski

Τελεστές Kuratowski

Re: Τελεστές Kuratowski

Re: Τελεστές Kuratowski

Re: Τελεστές Kuratowski

Re: Τελεστές Kuratowski

Re: Τελεστές Kuratowski

Re: Τελεστές Kuratowski

Μέλη σε σύνδεση