Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Al1 · #1

Να προσδιορίσετε γεωμετρικά την εικόνα του μιγαδικού επιπέδου µέσω της
απεικόνισης z →√z.
Να αποδείξετε επίσης ότι για ένα ορισμένο κλάδο αυτής της απεικόνισης, ευθείες παράλληλες στον πραγματικό άξονα απεικονίζονται σε υπερβολές.

Αν και το πρώτο προκύπτει εύκολα (μοναδιαίος κύκλος → ημικύκλιο) , έχω κολλήσει στο δεύτερο σκέλος του ερωτήματος.
Τι προτείνετε;

Ευχαριστώ προκαταβολικά.

#2

Al1 έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 03, 2021 6:50 pm
Να προσδιορίσετε γεωμετρικά την εικόνα του μιγαδικού επιπέδου µέσω της
απεικόνισης z →√z.
Να αποδείξετε επίσης ότι για ένα ορισμένο κλάδο αυτής της απεικόνισης, ευθείες παράλληλες στον πραγματικό άξονα απεικονίζονται σε υπερβολές.

Αν και το πρώτο προκύπτει εύκολα (μοναδιαίος κύκλος → ημικύκλιο) , έχω κολλήσει στο δεύτερο σκέλος του ερωτήματος.
Τι προτείνετε;

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Το ερώτημά σου είναι αρκετά απλό οπότε δίνω μόνο υπόδειξη: Έστω η εικόνα σημείου

μιας ευθείας παράλληλης προς τον άξονα των πραγματικών, δηλαδή σημείου της μορφής z=t+ia

με

πραγματικούς, είναι το w=x+iy

. Τότε

.

Ποιες δύο σχέσεις των x,y,t,a

σου δίνει αυτό;

Θα διαπιστώσεις ότι η μία από αυτές δίνει αυτόματα υπερβολή.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ να συμπληρώσεις τα βήματα που άφησα.

Al1 · #3

Σας ευχαριστώ για το καλωσόρισμα και την βοήθεια.

Προσπάθησα να εφαρμόσω τις συμβουλές σας, χωρίς όμως να οδηγηθώ στο επιθυμητό αποτέλεσμα.
Τι κάνω λάθος;

#4

Al1 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 04, 2021 5:56 pm
Σας ευχαριστώ για το καλωσόρισμα και την βοήθεια.

Προσπάθησα να εφαρμόσω τις συμβουλές σας, χωρίς όμως να οδηγηθώ στο επιθυμητό αποτέλεσμα.
Τι κάνω λάθος;

Στο λινκ φαίνονται οι υπολογισμοί που έχω, ως τώρα, κάνει...

https://prnt.sc/12hd3bm

Καλό είναι να γράψεις εδώ (το απαιτούν άλλωστε, ορθότατα, οι κανονισμοί μας) τα βήματα και όχι σε χειρόγραφο αλλού που αύριο μπορεί να μην υπάρχει.

Al1 · #5

Al1 · #6

Φυσικά, επαναλαμβάνω τις πράξεις εδώ.

$w=\left | w \right |(cos\Theta+isin\Theta )\Rightarrow w^{2}=\left | w \right |^{2}(cos2\Theta+isin2\Theta ) -----(1)$

$\left | w \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\Rightarrow \left | w \right |^{2}=x^{2}+y^{2} ------(2)$

Άρα, $w^{2}=(x^{2}+y^{2})(cos2\Theta +isin2\Theta )$

$w^{2}=z$
z=t+ia

Έτσι, $\left\{\begin{matrix} t=(x^{2}+y^{2})cos2\Theta & \\ \alpha =(x^{2}+y^{2})sin2\Theta & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{t^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{\alpha^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=1$ κύκλος, όχι υπερβολή?

#7

Al1 έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 04, 2021 7:58 pm
Φυσικά, επαναλαμβάνω τις πράξεις εδώ.

$w=\left | w \right |(cos\Theta+isin\Theta )\Rightarrow w^{2}=\left | w \right |^{2}(cos2\Theta+isin2\Theta ) -----(1)$

$\left | w \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\Rightarrow \left | w \right |^{2}=x^{2}+y^{2} ------(2)$

Άρα, $w^{2}=(x^{2}+y^{2})(cos2\Theta +isin2\Theta )$

$w^{2}=z$

Έτσι, $\left\{\begin{matrix} t=(x^{2}+y^{2})cos2\Theta & \\ \alpha =(x^{2}+y^{2})sin2\Theta & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{t^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{\alpha^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=1$ κύκλος, όχι υπερβολή?

Κάνεις τα εύκολα δύσκολα. Ας αρχίσω από το λογικό σφάλμα που έχεις στη τελευταία γραμμή.

ΔΕΝ είναι κύκλος! Το

που εμφανίζεται είναι μεταβλητό και περιέχει μέσα του x,y

.

Ξαναδιάβασε τις οδηγίες που σου έδωσα στο πρώτο μήνυμα. Εργάσου ΧΩΡΙΣ να μπλέκεις το θήτα. Έχεις από την w^2=z=t+ia

δύο απλές
αλγεβρικές σχέσεις (όχι τριγωνομετρικές). Η μία από τις δύο απαντά στο ερώτημά σου.

Al1 · #8

Σας ευχαριστώ για την βοήθεια σας. Νομίζω βρήκα άκρη.

$w^{2}=t+ia\Rightarrow (x+iy)^{2}=t+ia\Rightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=t+ia\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=x^{2}-y^{2} & \\ a=2xy & \end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{a/2}{x}$ υπερβολή

#9

Al1 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 05, 2021 2:42 pm
Σας ευχαριστώ για την βοήθεια σας. Νομίζω βρήκα άκρη.

$w^{2}=t+ia\Rightarrow (x+iy)^{2}=t+ia\Rightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=t+ia\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=x^{2}-y^{2} & \\ a=2xy & \end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{a/2}{x}$ υπερβολή

Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση