Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Al1
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Δευ Μάιος 03, 2021 6:43 pm

Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al1 » Δευ Μάιος 03, 2021 6:50 pm

Να προσδιορίσετε γεωμετρικά την εικόνα του μιγαδικού επιπέδου µέσω της
απεικόνισης z →√z.
Να αποδείξετε επίσης ότι για ένα ορισμένο κλάδο αυτής της απεικόνισης, ευθείες παράλληλες στον πραγματικό άξονα απεικονίζονται σε υπερβολές.

Αν και το πρώτο προκύπτει εύκολα (μοναδιαίος κύκλος → ημικύκλιο) , έχω κολλήσει στο δεύτερο σκέλος του ερωτήματος.
Τι προτείνετε;

Ευχαριστώ προκαταβολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13337
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 03, 2021 9:36 pm

Al1 έγραψε:
Δευ Μάιος 03, 2021 6:50 pm
Να προσδιορίσετε γεωμετρικά την εικόνα του μιγαδικού επιπέδου µέσω της
απεικόνισης z →√z.
Να αποδείξετε επίσης ότι για ένα ορισμένο κλάδο αυτής της απεικόνισης, ευθείες παράλληλες στον πραγματικό άξονα απεικονίζονται σε υπερβολές.

Αν και το πρώτο προκύπτει εύκολα (μοναδιαίος κύκλος → ημικύκλιο) , έχω κολλήσει στο δεύτερο σκέλος του ερωτήματος.
Τι προτείνετε;
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Το ερώτημά σου είναι αρκετά απλό οπότε δίνω μόνο υπόδειξη: Έστω η εικόνα σημείου z μιας ευθείας παράλληλης προς τον άξονα των πραγματικών, δηλαδή σημείου της μορφής z=t+ia με t,a πραγματικούς, είναι το w=x+iy. Τότε w^2=z.

Ποιες δύο σχέσεις των x,y,t,a σου δίνει αυτό;

Θα διαπιστώσεις ότι η μία από αυτές δίνει αυτόματα υπερβολή.

Θα χαρούμε να δούμε εδώ να συμπληρώσεις τα βήματα που άφησα.


Al1
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Δευ Μάιος 03, 2021 6:43 pm

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al1 » Τρί Μάιος 04, 2021 5:56 pm

Σας ευχαριστώ για το καλωσόρισμα και την βοήθεια.

Προσπάθησα να εφαρμόσω τις συμβουλές σας, χωρίς όμως να οδηγηθώ στο επιθυμητό αποτέλεσμα.
Τι κάνω λάθος;
τελευταία επεξεργασία από Al1 σε Κυρ Μάιος 09, 2021 8:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13337
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 04, 2021 7:16 pm

Al1 έγραψε:
Τρί Μάιος 04, 2021 5:56 pm
Σας ευχαριστώ για το καλωσόρισμα και την βοήθεια.

Προσπάθησα να εφαρμόσω τις συμβουλές σας, χωρίς όμως να οδηγηθώ στο επιθυμητό αποτέλεσμα.
Τι κάνω λάθος;

Στο λινκ φαίνονται οι υπολογισμοί που έχω, ως τώρα, κάνει...

https://prnt.sc/12hd3bm
Εικόνα
Καλό είναι να γράψεις εδώ (το απαιτούν άλλωστε, ορθότατα, οι κανονισμοί μας) τα βήματα και όχι σε χειρόγραφο αλλού που αύριο μπορεί να μην υπάρχει.


Al1
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Δευ Μάιος 03, 2021 6:43 pm

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al1 » Τρί Μάιος 04, 2021 7:56 pm

..
τελευταία επεξεργασία από Al1 σε Τρί Μάιος 04, 2021 7:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Al1
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Δευ Μάιος 03, 2021 6:43 pm

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al1 » Τρί Μάιος 04, 2021 7:58 pm

Φυσικά, επαναλαμβάνω τις πράξεις εδώ.

w=\left | w \right |(cos\Theta+isin\Theta )\Rightarrow w^{2}=\left | w \right |^{2}(cos2\Theta+isin2\Theta ) -----(1)

\left | w \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\Rightarrow \left | w \right |^{2}=x^{2}+y^{2} ------(2)

Άρα, w^{2}=(x^{2}+y^{2})(cos2\Theta +isin2\Theta )

w^{2}=z
z=t+ia


Έτσι, \left\{\begin{matrix} t=(x^{2}+y^{2})cos2\Theta & \\ \alpha =(x^{2}+y^{2})sin2\Theta & \end{matrix}\right.

\Rightarrow \frac{t^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{\alpha^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=1 κύκλος, όχι υπερβολή?


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13337
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 04, 2021 11:02 pm

Al1 έγραψε:
Τρί Μάιος 04, 2021 7:58 pm
Φυσικά, επαναλαμβάνω τις πράξεις εδώ.

w=\left | w \right |(cos\Theta+isin\Theta )\Rightarrow w^{2}=\left | w \right |^{2}(cos2\Theta+isin2\Theta ) -----(1)

\left | w \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\Rightarrow \left | w \right |^{2}=x^{2}+y^{2} ------(2)

Άρα, w^{2}=(x^{2}+y^{2})(cos2\Theta +isin2\Theta )

w^{2}=z
z=t+ia


Έτσι, \left\{\begin{matrix} t=(x^{2}+y^{2})cos2\Theta & \\ \alpha =(x^{2}+y^{2})sin2\Theta & \end{matrix}\right.

\Rightarrow \frac{t^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{\alpha^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=1 κύκλος, όχι υπερβολή?
Κάνεις τα εύκολα δύσκολα. Ας αρχίσω από το λογικό σφάλμα που έχεις στη τελευταία γραμμή.

ΔΕΝ είναι κύκλος! Το t που εμφανίζεται είναι μεταβλητό και περιέχει μέσα του x,y.

Ξαναδιάβασε τις οδηγίες που σου έδωσα στο πρώτο μήνυμα. Εργάσου ΧΩΡΙΣ να μπλέκεις το θήτα. Έχεις από την w^2=z=t+ia δύο απλές
αλγεβρικές σχέσεις (όχι τριγωνομετρικές). Η μία από τις δύο απαντά στο ερώτημά σου.


Al1
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Δευ Μάιος 03, 2021 6:43 pm

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al1 » Τετ Μάιος 05, 2021 2:42 pm

Σας ευχαριστώ για την βοήθεια σας. Νομίζω βρήκα άκρη.

w^{2}=t+ia\Rightarrow (x+iy)^{2}=t+ia\Rightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=t+ia\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=x^{2}-y^{2} & \\ a=2xy & \end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{a/2}{x} υπερβολή


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13337
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βοήθεια σε άσκηση μιγαδικών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μάιος 05, 2021 9:24 pm

Al1 έγραψε:
Τετ Μάιος 05, 2021 2:42 pm
Σας ευχαριστώ για την βοήθεια σας. Νομίζω βρήκα άκρη.

w^{2}=t+ia\Rightarrow (x+iy)^{2}=t+ia\Rightarrow x^{2}-y^{2}+2xyi=t+ia\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t=x^{2}-y^{2} & \\ a=2xy & \end{matrix}\right.\Rightarrow y=\frac{a/2}{x} υπερβολή
:10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης