Υπολογισμός σειράς

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4584
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Υπολογισμός σειράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 12, 2021 4:33 pm

Έστω f:[-\pi, \pi) \rightarrow \mathbb{R} με τύπο f(x) = x \left( 1 +\cos x \right) την οποία επεκτείνουμε 2\pi-περιοδικά σε ολόκληρο το \mathbb{R}. Να υπολογιστoύν τα αθροίσματα

\displaystyle{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)} \quad \quad ,\quad \quad \mathcal{S}_2 = \sum_{n=2} ^\infty \frac{1}{(n-1)^2(n+1)^2}}
Μέχρι 13/02/2021!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπολογισμός σειράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 12, 2021 5:11 pm

H f πού μπαίνει;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2911
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός σειράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Φεβ 12, 2021 5:41 pm

Ενδεχομένως...
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 12, 2021 4:33 pm
Έστω f:[-\pi, \pi) \rightarrow \mathbb{R} με τύπο f(x) = x \left( 1 +\cos x \right) την οποία επεκτείνουμε 2\pi-περιοδικά σε ολόκληρο το \mathbb{R}. Με την χρήση του αναπτύγματος Fourier της f , να υπολογιστoύν τα αθροίσματα

\displaystyle{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)} \quad \quad ,\quad \quad \mathcal{S}_2 = \sum_{n=2} ^\infty \frac{1}{(n-1)^2(n+1)^2}}
Ως απάντηση του εύλογου ερωτήματος(;) του κ. Λάμπρου.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπολογισμός σειράς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 12, 2021 6:07 pm

Σωστά. Υπόψη όμως οτι το S_1 δεν χρειάζεται σειρά Fourier. Μπορεί πολύ εύκολα, και γενικότερα, να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς ως μία απλή ρητή συνάρτηση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπολογισμός σειράς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 14, 2021 12:24 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 12, 2021 4:33 pm
Έστω f:[-\pi, \pi) \rightarrow \mathbb{R} με τύπο f(x) = x \left( 1 +\cos x \right) την οποία επεκτείνουμε 2\pi-περιοδικά σε ολόκληρο το \mathbb{R}. Να υπολογιστoύν τα αθροίσματα

\displaystyle{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)} \quad \quad ,\quad \quad \mathcal{S}_2 = \sum_{n=2} ^\infty \frac{1}{(n-1)^2(n+1)^2}}
Μέχρι 13/02/2021!
Δεν χρειάζεται η συνάρτηση σειρές Fourier και Parseval για τον υπολογισμό.
Το μόνο που χρειάζεται είναι ότι

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{\pi ^2}{6}
Ισότητα που αποδεικνύεται με στοιχειώδη μέσα.
(Mathematical Analysis T.Apostol exercise 8.46)

mod σταθερές είναι
\displaystyle \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)}=\frac{(-1)^n}{(n-1)}+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}=\frac{(-1)^n}{(n-1)}-\frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)}
οπότε έχουμε τηλεσκοπική.

Για την δεύτερη πάλι mod σταθερές
είναι
\displaystyle \frac{1}{(n-1)^2(n+1)^2}}=(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})^2=\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{(n-1)(n+1)}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Υπολογισμός σειράς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 14, 2021 12:57 am

Για να συνεχίσω αυτό που έγραφα για το S_1, το ίδιο άλλωστε με του Σταύρου, έχουμε γενικότερα

\displaystyle{\mathcal{S}_1 = \sum_{n=2}^N \frac{(-1)^n}{(n-1)(n+1)}= \dfrac {1}{4}+ \dfrac {(-1)^N}{2N(N+1)}

Το S_1 είναι βέβαια το όριο \dfrac {1}{4} αυτής.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης