Ομοιόμορφη σύγκλιση

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ομοιόμορφη σύγκλιση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιούλ 14, 2020 12:42 pm

Να δειχθεί ότι η σειρά συναρτήσεων \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 x^2 + n}} συγκλίνει ομοιόμορφα για κάθε x \geq 0.


Μέχρι αύριο βράδυ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Αύγ 10, 2020 3:23 pm

Επαναφορά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12415
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ομοιόμορφη σύγκλιση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Αύγ 10, 2020 4:10 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιούλ 14, 2020 12:42 pm
Να δειχθεί ότι η σειρά συναρτήσεων \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^3 x^2 + n}} συγκλίνει ομοιόμορφα για κάθε x \geq 0.
Για κάθε σταθερό x η ακολουθία (a_n), όπου \displaystyle{ a_n=\frac{1}{n^3 x^2 + n}}, είναι φθίνουσα. Έστω S_n το μερικό άθροισμα και S το ολικό (που βέβαια υπάρχει αφού η σειρά συγκλίνει ως εναλλάσσουσα. Ως γνωστόν (και απλό) η (S_{2n}) αυξάνει προς το όριό της S. Άρα

\displaystyle{0\le |S-S_{2n}|= S-S_{2n} = a_{2n+1}-a_{2n+2}+a_{2n+3}+...= a_{2n+1}-(a_{2n+2}-a_{2n+3})+...  \le a_{2n+1}= }

\displaystyle{=\frac{1}{(2n+1)^3 x^2 + 2n+1}\le \frac{1}{ 2n+1}}

Άρα η (S_{2n}) συγκλίνει ομοιόμορφα. Επίσης, για περιττό δείκτη έχουμε

\displaystyle{0\le |S-S_{2n+1}|\le  |S-S_{2n}|+ a_{2n+1} \le \frac{1}{ 2n+1} +  \frac{1}{ 2n+1}}, οπότε και πάλι έχουμε ομοιόμορφη σύγκλιση. Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης