Με δύο ακολουθίες

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Με δύο ακολουθίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Μαρ 25, 2020 1:47 am

Δίνονται a,b μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί και οι ακολουθίες πραγματικών αριθμών

(x_n),(y_n), όπου x_n\neq 0 για κάθε n.

Αν ισχύει \lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{ax_n+by_n}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}} }=0 να δείξετε ότι το

\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{y_n}{x_n} υπάρχει και να το υπολογίσετε.

26/3



Λέξεις Κλειδιά:
stranger
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Με δύο ακολουθίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Μαρ 26, 2020 1:22 am

Το όριο κάνει -\frac{a}{b}.
Έστω z_n= \frac{a x_n + b y_n}{\sqrt{x_n^2 + y_n^2}}. Διαιρούμε με |x_n| και έχουμε |z_n|= \frac{|a + b w_n|}{\sqrt{1+w_n^2}}. Όπου w_n = \frac{y_n}{x_n}.
Άρα \frac{a + b w_n}{\sqrt{1+w_n^2}} \rightarrow 0 καθώς n \rightarrow +\infty. (1)
Έστω w_{k_n} \rightarrow l μια συγκλίνουσα υπακολουθία της w_n.
Άρα από την (1) έχουμε \frac{a + b l}{\sqrt{1+l^2}} = 0 που δίνει l=-\frac{a}{b}.
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα \lim \inf w_n , \lim \sup w_n είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έχουμε από Del' Hospital ότι \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{a + bx}{\sqrt{1+x^2}} = \pm b \neq 0 Άρα αφού \frac{a + b w_n}{\sqrt{1+w_n^2}} \rightarrow 0 έχουμε ότι τα \lim \sup w_n, \lim \inf w_n είναι πραγματικοί αριθμοί και το συμπέρασμα έπεται.
Σημείωση: Το a \neq 0 δεν χρειάζεται.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11934
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με δύο ακολουθίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μαρ 26, 2020 12:20 pm

stranger έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 1:22 am
Το όριο κάνει -\frac{a}{b}.
Έστω z_n= \frac{a x_n + b y_n}{\sqrt{x_n^2 + y_n^2}}. Διαιρούμε με |x_n| και έχουμε |z_n|= \frac{|a + b w_n|}{\sqrt{1+w_n^2}}. Όπου w_n = \frac{y_n}{x_n}.
Άρα \frac{a + b w_n}{\sqrt{1+w_n^2}} \rightarrow 0 καθώς n \rightarrow +\infty. (1)
Έστω w_{k_n} \rightarrow l μια συγκλίνουσα υπακολουθία της w_n.
Άρα από την (1) έχουμε \frac{a + b l}{\sqrt{1+l^2}} = 0 που δίνει l=-\frac{a}{b}.
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα \lim \inf w_n , \lim \sup w_n είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έχουμε από Del' Hospital ότι \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{a + bx}{\sqrt{1+x^2}} = \pm b \neq 0 Άρα αφού \frac{a + b w_n}{\sqrt{1+w_n^2}} \rightarrow 0 έχουμε ότι τα \lim \sup w_n, \lim \inf w_n είναι πραγματικοί αριθμοί και το συμπέρασμα έπεται.
Σημείωση: Το a \neq 0 δεν χρειάζεται.
Κώστα, νομίζω ότι κάτι λείπει εκτός αν κάνω λάθος. Το παραπάνω δείχνει ότι ως προς κάποια υπακολουθία το όριο είναι -b/a, αλλά γιατί συμβαίνει το ίδιο για όλη την ακολουθία;

Αμέσως από κάτω γράφω λύση της άσκησης.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11934
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με δύο ακολουθίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μαρ 26, 2020 12:25 pm

Με w_n = \dfrac{y_n}{x_n} έχουμε \dfrac{a + b w_n}{\sqrt{1+w_n^2}} \rightarrow 0. Έπεται ότι η w_n είναι φραγμένη αλλιώς θα είχε υπακολουθία με w_{n_{k}}\rightarrow \pm \infty. Αλλά τότε

\displaystyle{\frac{a + b w_{n_k}}{\sqrt{1+w_{n_k}^2}}= \frac{a }{\sqrt{1+w_{n_k}^2}} + b\cdot \frac{ w_{n_k}}{\sqrt{1+w_{n_k}^2}} \rightarrow 0 +b\cdot (\pm 1 )\ne 0}. Άτοπο.

Άρα

\displaystyle{|a + b w_n| = \left | \frac{a + b w_n}{\sqrt{1+w_n^2}}\right | \sqrt{1+w_n^2} \le M \left | \frac{a + b w_n}{\sqrt{1+w_n^2}}\right | \rightarrow 0}, και λοιπά.


stranger
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Με δύο ακολουθίες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Μαρ 26, 2020 8:51 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:20 pm
stranger έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 1:22 am
Το όριο κάνει -\frac{a}{b}.
Έστω z_n= \frac{a x_n + b y_n}{\sqrt{x_n^2 + y_n^2}}. Διαιρούμε με |x_n| και έχουμε |z_n|= \frac{|a + b w_n|}{\sqrt{1+w_n^2}}. Όπου w_n = \frac{y_n}{x_n}.
Άρα \frac{a + b w_n}{\sqrt{1+w_n^2}} \rightarrow 0 καθώς n \rightarrow +\infty. (1)
Έστω w_{k_n} \rightarrow l μια συγκλίνουσα υπακολουθία της w_n.
Άρα από την (1) έχουμε \frac{a + b l}{\sqrt{1+l^2}} = 0 που δίνει l=-\frac{a}{b}.
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι τα \lim \inf w_n , \lim \sup w_n είναι πραγματικοί αριθμοί.
Έχουμε από Del' Hospital ότι \lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{a + bx}{\sqrt{1+x^2}} = \pm b \neq 0 Άρα αφού \frac{a + b w_n}{\sqrt{1+w_n^2}} \rightarrow 0 έχουμε ότι τα \lim \sup w_n, \lim \inf w_n είναι πραγματικοί αριθμοί και το συμπέρασμα έπεται.
Σημείωση: Το a \neq 0 δεν χρειάζεται.
Κώστα, νομίζω ότι κάτι λείπει εκτός αν κάνω λάθος. Το παραπάνω δείχνει ότι ως προς κάποια υπακολουθία το όριο είναι -b/a, αλλά γιατί συμβαίνει το ίδιο για όλη την ακολουθία;

Αμέσως από κάτω γράφω λύση της άσκησης.
Αν έχουμε μια συγκλίνουσα υπακολουθία τότε αναγκαστικά το όριό της είναι -\frac{a}{b}. Άρα επειδή το \lim \sup w_n και το  \lim \inf w_n είναι αντίστοιχα το μέγιστο όριο υπακολουθίας και το ελάχιστο όριο υπακολουθίας θα έχουμε \lim \sup w_n = \lim \inf w_n = - \frac{a}{b}. Οπότε το όριο κάνει -\frac{a}{b}.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11934
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με δύο ακολουθίες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μαρ 26, 2020 9:03 pm

stranger έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 8:51 pm
Αν έχουμε μια συγκλίνουσα υπακολουθία τότε αναγκαστικά το όριό της είναι -\frac{a}{b}. Άρα επειδή το \lim \sup w_n και το  \lim \inf w_n είναι αντίστοιχα το μέγιστο όριο υπακολουθίας και το ελάχιστο όριο υπακολουθίας θα έχουμε \lim \sup w_n = \lim \inf w_n = - \frac{a}{b}. Οπότε το όριο κάνει -\frac{a}{b}.
Ίσως δεν βλέπω κάτι: Η ακολουθία 0,\,1,\,2,\,0,\,1,\,2,\,0,\,1,\,2,... έχει υπακολουθία που συγκλίνει στο 1, αλλά για το μέγιστο όριο υπακολουθίας προς \lim \sup w_n και το ελάχιστο όριο υπακολουθίας προς  \lim \inf w_n έχουμε \lim \sup w_n = 2\ne  0 = \lim \inf w_n


stranger
Δημοσιεύσεις: 147
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Με δύο ακολουθίες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Μαρ 26, 2020 9:07 pm

Κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία έχει όριο -\frac{a}{b}.
Στο παραδειγμά σας υπάρχουν υπακολουθίες που συγκλίνουν στο 1 και υπακολουθίες που συγκλίνουν στο 2.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
sot arm
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Με δύο ακολουθίες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Πέμ Μαρ 26, 2020 9:29 pm

Κάποιες ιδέες ακόμα που θέλουν αρκετή αιτιολόγηση νομίζω για να αποτελέσουν πλήρη λύση, ας γράψουμε:

\displaystyle{\vec{a}=(a,b), \vec{z_{n}}=(\frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}},\frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}})}

Τότε: \displaystyle{\left \| z_{n} \right \|_{2} = 1} και \displaystyle{\vec{a} \cdot \vec{z_{n}} \rightarrow 0}

Άρα το z_{n} τείνει να γίνει κάθετο στο \vec{a} και άρα η κλίση του τείνει στο \frac{-b}{a} και άρα το ζητούμενο όριο τείνει στο \frac{-a}{b}.

Ξαναλέω, δεν θεωρώ ότι είναι πλήρες, απλά μου φάνηκε μια ενδιαφέρουσα "μετάφραση" του ζητουμένου.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2901
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Με δύο ακολουθίες

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μαρ 26, 2020 9:53 pm

Θέτουμε
c_n= \frac{a x_n + b y_n}{\sqrt{x_n^2 + y_n^2}},και w_n = \frac{y_n}{x_n}.
Είναι
(b^{2}-c_{n}^{2})w_{n}^{2}+2abw_{n}+a^{2}-c_{n}^{2}=0
οπότε
w_{n}=\dfrac{-ab\pm \sqrt{a^{2}b^{2}-(b^{2}-c_{n}^{2})(a^{2}-c_{n}^{2})}}{b^{2}-c_{n}^{2}}
κτλ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης