Οριο διαφορετικό της τιμής

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω
$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
συνάρτηση.

Θεωρούμε το σύνολο

$E=\left \{ a:\lim_{x\rightarrow a}f(x)=l\neq f(a) \right \}$
( $l\in \bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \left \{ \infty ,-\infty \right \}$ )

Να δειχθεί ότι το

είναι αριθμήσιμο.

Παρατηρήσεις.
1)Το

είναι το σύνολο των σημείων που το όριο υπάρχει αλλά είναι διαφορετικό
από την τιμή της συνάρτησης.
2)Τα ίδια ισχύουν αν έχουμε $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ συνάρτηση όπου

διαχωρίσιμος
μετρικός χώρος.

Μέχρι 6-3-2020

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

#3

Θα γράφουμε $\displaystyle \ell_a = \lim_{x \to a}f(x)$ αν το όριο υπάρχει. Ορίζω $\displaystyle E_n = \left\{a \in \mathbb{R} : |\ell_a - f(a)| \geqslant \frac{1}{n}\right\}$ . Επειδή $E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n$ και το $\mathbb{N}$ είναι αριθμήσιμο, αρκεί να δείξουμε ότι κάθε ένα από τα E_n

είναι αριθμήσιμο.

Για κάθε $a \in E_n$ ορίζω I_a

διάστημα με ρητά άκρα με $a \in I_a$ και $\displaystyle a \neq x \in I_a \implies |\ell_a - f(x)| < \frac{1}{3n}.$ (Μπορώ να το κάνω από τον ορισμό του ορίου.)

Ισχυρίζομαι ότι αν $a,b \in E_n$ με $a \neq b$ , τότε $I_a \neq I_b$ . Πράγματι σε διαφορετική περίπτωση έχουμε $a \neq b \in I_a$ άρα και $|\ell_a - f(b)| < \frac{1}{3n}$ . Επίσης για $x \in I_a$ με $x \neq a$ και $x \neq b$ έχουμε $|\ell_a - f(x)| < \frac{1}{3n}$ και $|\ell_b - f(x)| < \frac{1}{3n}$ . Από αυτές τις τρεις ανισότητες και την τριγωνική ανισότητα καταλήγουμε στο $|\ell_b - f(b)| < \frac{1}{n}$ το οποίο είναι άτοπο.

Επειδή $\mathbb{Q}^2$ αριθμήσιμο, τότε και το E_n

είναι αριθμήσιμο όπως θέλαμε να δείξουμε.

Οριο διαφορετικό της τιμής

Οριο διαφορετικό της τιμής

Re: Οριο διαφορετικό της τιμής

Re: Οριο διαφορετικό της τιμής

Μέλη σε σύνδεση