Ορίζουσα

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4303
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ορίζουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 21, 2020 11:04 pm

Έστω x>0 και A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} τέτοιος ώστε \det \left(A^2 + x \mathbb{I}_{2 \times 2} \right) = 0. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\det \left( A^2 + A + x \mathbb{I}_{2 \times 2} \right) = x }
Μέχρι αύριο το βράδυ!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4303
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ορίζουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μαρ 02, 2020 1:43 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 21, 2020 11:04 pm
Έστω x>0 και A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} τέτοιος ώστε \det \left(A^2 + x \mathbb{I}_{2 \times 2} \right) = 0. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\det \left( A^2 + A + x \mathbb{I}_{2 \times 2} \right) = x }
Μέχρι αύριο το βράδυ!!

Επαναφορά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ορίζουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 02, 2020 3:29 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 21, 2020 11:04 pm
Έστω x>0 και A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} τέτοιος ώστε \det \left(A^2 + x \mathbb{I}_{2 \times 2} \right) = 0. Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\det \left( A^2 + A + x \mathbb{I}_{2 \times 2} \right) = x }
Μέχρι αύριο το βράδυ!!
Modulo ομοιους πίνακες.
Αν ο
A=\begin{pmatrix} \lambda &E \\ 0 & \mu \end{pmatrix}
E=0 or 1
και
\lambda ,\mu \in \mathbb{R}
τότε η υπόθεση δεν ισχύει .
Αρα θα είναι

A=\begin{pmatrix} \lambda &0 \\ 0 & \bar{\lambda} \end{pmatrix}
Aπο την υπόθεση
\lambda =\pm i\sqrt{x}
Τότε είναι
\displaystyle\det \left( A^2 + A + x \mathbb{I}_{2 \times 2} \right)=\lambda ((\bar{\lambda })^{2}+\bar{\lambda }+x)=\lambda \bar{\lambda }=x


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ορίζουσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Μαρ 02, 2020 3:53 pm

Διαφορετικά, παρατηρούμε ότι 0 = \det[(A+i\sqrt{x}I)(A-i\sqrt{x}I)] = \det(A+i\sqrt{x}I)\det(A-i\sqrt{x}I) οπότε ένα από τα \pm i \sqrt{x} είναι ιδιοτιμή του A, και αφού A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, αναγκαστικά είναι και το άλλο. Επομένως ο A έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \lambda^2+x. Τότε A^2 + xI = 0 και

\displaystyle  \det(A^2 + A + xI) = \det(A) = p_A(0) = x.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης