Δυνάμεις πίνακα

#1

Για τον πίνακα
$A=\left({\begin{array}{ccc} -2 & 4 & 3\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 0 & 0 & 0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} -1 & 5 & 2\end{array}}\right)$
να αποδειχθεί ότι $A^{593}-2\,A^{15}+A=0\,.$

έως και 11/1/2020

ChrP · #2

Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα

το οποίο προκύπτει από ανάπτυγμα Laplace και είναι το x_A(x)=x-x^3

Από Θεώρημα C-H $x_A(A)=0 \Rightarrow A^3=A$
Τώρα κάνοντας διαδοχικές διαιρέσεις με το 3
$A^{593}=A^{197}A^2=A^{65}A^2A^2=A^{21}A^2A^2A^2=A^7A^6=A^{13}=A^12A=A^2A=A^3=A$
$A^{15}=A^{35}=A^5=A^2A^3=A^2A=A^3=A$
Άρα $A^{593}-2A^{15}+A=A-2A+A=0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ChrP έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 08, 2020 9:00 pm
Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα το οποίο προκύπτει από ανάπτυγμα Laplace και είναι το
Από Θεώρημα C-H $x_A(A)=0 \Rightarrow A^3=A$
Τώρα κάνοντας διαδοχικές διαιρέσεις με το 3
$A^{593}=A^{197}A^2=A^{65}A^2A^2=A^{21}A^2A^2A^2=A^7A^6=A^{13}=A^12A=A^2A=A^3=A$
$A^{15}=A^{35}=A^5=A^2A^3=A^2A=A^3=A$
Άρα $A^{593}-2A^{15}+A=A-2A+A=0$

Θα μπορούσε να τελειώσει πιο απλά.
Αν θέσουμε
$f(x)=x^{593}-2x^{15}+x$
τότε
f(1)=f(-1)=f(0)=0

Αρα το

διαιρεί το f(x)

οπότε

#4

ChrP έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 08, 2020 9:00 pm
Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα το οποίο προκύπτει από ανάπτυγμα Laplace και είναι το
Από Θεώρημα C-H $x_A(A)=0 \Rightarrow A^3=A$
Τώρα κάνοντας διαδοχικές διαιρέσεις με το 3
$A^{593}=A^{197}A^2=A^{65}A^2A^2=A^{21}A^2A^2A^2=A^7A^6=A^{13}=A^12A=A^2A=A^3=A$
$A^{15}=A^{35}=A^5=A^2A^3=A^2A=A^3=A$
Άρα $A^{593}-2A^{15}+A=A-2A+A=0$

Ας δούμε την ίδια απόδειξη πιο λιτά από το A^3=A

και πέρα, αλλά με τρόπο που αναδεικνύει το "τι τρέχει".

Έχουμε $A^{2n+1} = A^{2n-2} A^3=A^{2n-2} A= A^{2n-1}$ . Οπότε με αναδρομή όλες οι περιττές δυνάμεις του

είναι ίσες. Ειδικά $A^{593}-2A^{15}+A=A-2A+A=0$ .

Δυνάμεις πίνακα

Δυνάμεις πίνακα

Re: Δυνάμεις πίνακα

Re: Δυνάμεις πίνακα

Re: Δυνάμεις πίνακα

Μέλη σε σύνδεση