Αύξουσα από παράγωγο

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3134
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Αύξουσα από παράγωγο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 14, 2019 4:24 pm

Εστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}
συνεχής .
Θέτουμε
D_{-}f(x)=lim inf_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
Αν
x\in [a,b]-A\Rightarrow D_{-}f(x)\geq 0

όπου A αριθμήσιμο σύνολο

να δειχθεί ότι η f είναι αύξουσα.


Μέχρι 15-12-2019



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3134
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αύξουσα από παράγωγο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Δεκ 16, 2019 8:57 pm

Επαναφορά για όλους.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3134
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αύξουσα από παράγωγο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Φεβ 26, 2020 1:54 pm

Επαναφορά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3134
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αύξουσα από παράγωγο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 28, 2020 10:43 pm

Βάζω λύση.
Θα την γράψω τμηματικά.
Αν θέλει κάποιος μπορεί να συνεχίσει από το τελευταίο σημείο που θα έχω αφήσει.

Αν δείξουμε ότι f(b)\geq f(a)
θα έχουμε τελειώσει γιατί αν
\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b],x_{1}<x_{2}
κάνουμε τα ίδια στο διάστημα
 [x_{1},x_{2}]

Εστω \displaystyle A=\left \{q_{n}:n\in \mathbb{N} \right \}

Εστω \epsilon >0
Θεωρούμε την
\displaystyle q(x)=f(x)+\epsilon (x-a)+\epsilon \sum _{q_{n}<x}2^{-n}

και το σύνολο
\displaystyle B=\left \{ x\in [a,b]:q(x)\geq q(a) \right \}
είναι B\neq \varnothing
γιατί a\in B

Εστω s=supB
Είναι εύκολο λόγω συνέχειας να δείξουμε ότι
\displaystyle q(s)\geq q(a)
Αρκεί να δείξουμε ότι s=b

Αν  s<b διακρίνοντας τις περιπτώσεις

1)s\notin A
2)s\in A
θα καταλήξουμε σε άτοπο.

Εστω ότι ισχύει το 1)
Είναι
\displaystyle D_{-}(f(s)+\epsilon (s-a))\geq \epsilon

Λόγω αυτού υπάρχει \delta > 0
ώστε για s<x<s+\delta
ισχύει
\displaystyle \dfrac{f(x)-\epsilon (x-a)-(f(s)-\epsilon (s-a))}{x-s}\geq \epsilon

η τελευταία δίνει ότι για s<x<s+\delta
f(x)\geq f(s)
Τότε όμως
\displaystyle q(x)\geq q(s)\geq q(a)
πού δείχνει ότι x \in B
ΑΤΟΠΟ από τον ορισμό του sup

Εστω ότι ισχύει το 2)
Αρα s=q_n
για κάποιο n
Από συνέχεια υπάρχει \delta > 0
ώστε για s<x<s+\delta
να είναι
f(x)-f(s)\geq -\epsilon \frac{1}{2^{n}}

Συμπεραίνουμε ότι
\displaystyle q(x)\geq q(s)\geq q(a)
πού δείχνει ότι x \in B
ΑΤΟΠΟ από τον ορισμό του sup


Αρα s=b οπότε q(b)\geq q(a)
Αυτό σημαίνει ότι
\displaystyle f(b)+\epsilon (b-a)+\epsilon \sum 2^{-n}\geq f(a)
και επειδή το \epsilon είναι οποιοσδήποτε θετικός
έχουμε
\displaystyle f(b)\geq f(a)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης