Ανάπτυξη με παραγοντικά

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3139
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ανάπτυξη με παραγοντικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 26, 2019 9:57 pm

Να δείξετε ότι κάθε x>0 πραγματικός γράφεται μονοσήμαντα ως
\displaystyle x=\sum_{k=1}^{\infty }\frac{a_{k}}{k!}
όπου
\displaystyle a_{k}\in \mathbb{N}

και για k\geq 2 είναι

 \displaystyle 0\leq a_{k}\leq k-1

και δεν υπάρχει n ώστε a_k = k-1 για κάθε k \geqslant n.

Μέχρι 29-11-2019
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Σάβ Νοέμ 30, 2019 4:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8470
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Νοέμ 30, 2019 12:56 pm

Σταύρο, για τη μοναδικότητα νομίζω θέλουμε την επιπλέον συνθήκη: Δεν υπάρχει n ώστε a_k = k-1 για κάθε k \geqslant n.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3139
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 30, 2019 4:20 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Νοέμ 30, 2019 12:56 pm
Σταύρο, για τη μοναδικότητα νομίζω θέλουμε την επιπλέον συνθήκη: Δεν υπάρχει n ώστε a_k = k-1 για κάθε k \geqslant n.
Εχεις δίκιο πρέπει να προστεθεί στην εκφώνηση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3139
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Δεκ 04, 2019 2:02 pm

Επαναφορά.
Για όλους.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8470
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Δεκ 06, 2019 11:00 am

Ύπαρξη: Ορίζουμε a_1 = [x]. Έχοντας ορίσει τα a_1,\ldots,a_n τότε ορίζουμε a_{n+1} ως τον μέγιστο φυσικό με a_{n+1} \in \{0,1,\ldots,n\} και \displaystyle  \sum_{k=1}^{n+1} \frac{a_k}{k!} \leqslant x

Έστω \displaystyle  x_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k!}. Ισχυρίζομαι ότι 0 \leqslant x-x_n < \frac{1}{n!} για κάθε φυσικό n. (*)

Από τον ορισμό του a_1 η (*) είναι αληθής για n=1. Επίσης, αν είναι αληθής για n=m τότε θα είναι αληθής και για n = m+1 αφού είτε a_{m+1} = m οπότε

\displaystyle  0 \leqslant x - x_{m+1} = (x-x_m) + (x_m-x_{m+1}) < \frac{1}{m!} - \frac{m}{(m+1)!} = \frac{1}{(m+1)!}

είτε a_{m+1} = k  < m οπότε

\displaystyle  x_{m+1} + \frac{1}{(m+1)!} > x \geqslant x_{m+1}

αφού απαγορεύεται να επιλέξουμε a_{m+1} = k+1.

Είναι απλό τώρα ότι η (x_n) συγκλίνει στο x. Άρα έχουμε το ζητούμενο αρκεί να δείξουμε επιπλέον ότι δεν υπάρχει n ώστε a_k = k-1 για k \geqslant n. Αν όμως υπήρχε, θα είχαμε:

\displaystyle  x-x_{n-1} = \sum_{k=n}^{\infty} \frac{a_k}{k!} = \sum_{k=n}^{\infty} \frac{k-1}{k!} = \sum_{k=n}^{\infty} \left( \frac{1}{(k-1)!}-\frac{1}{k!}\right) = \frac{1}{(n-1)!}

Αυτό όμως είναι άτοπο από την (*).


Μοναδικότητα:

Έστω ότι \displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k}{k!} με τις ακολουθίες (a_n),(b_n) να είναι διαφορετικές και να ικανοποιούν τις συνθήκες. Έστω m ελάχιστο ώστε a_m \neq b_m και έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι a_m > b_m. Τότε όμως

\displaystyle  0 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{k!} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_k}{k!} \geqslant \frac{1}{m!} + \sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{a_k-b_k}{k!} \geqslant \frac{1}{m!} - \sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{k-1}{k!}  =  0

Αυτό είναι άτοπο εκτός και αν έχουμε ισότητα. Η ισότητα λαμβάνεται αν και μόνο αν a_m - b_m=1 και a_k - b_k = -(k-1) για κάθε k \geqslant m. Τότε όμως θα είναι και b_k = k-1 για κάθε k \geqslant m, άτοπο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3139
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανάπτυξη με παραγοντικά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 07, 2019 9:56 am

Είναι η άσκηση 1.17 σελ26 από
το Mathematical Analysis του T.Apostol
second edition.
Βέβαια εκεί την έχει για ρητούς αφού δεν έχει ορίσει ακόμα σειρές.

Η απόδειξη είναι σχεδόν όμοια με το δεκαδικό ανάπτυγμα.
Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι
a_{n}=[n!x]-n[(n-1)!x],n\geq 2

Την έχω χρησιμοποιήσει πολλές φορές.
Την έβαλα γιατί έτσι μπορεί να κατασκευασθεί η συνάρτηση στο

viewtopic.php?f=200&t=65742


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης