Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

χώρος με νόρμα.

Για $x\in X-\left \{ 0 \right \}$ θέτουμε $\hat{x}=\frac{x}{\left \| x \right \|}$

Εστω $x_{n},x\in X-\left \{ 0 \right \}$
με
$x_{n}\rightarrow 0$

Να δείξετε ότι $\hat{x_{n}}\rightarrow \hat{x}$
αν και μόνο αν
υπάρχει ακολουθία φυσικών $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
με $a_{n}x_{n}\rightarrow x$

μέχρι 21-9-2019

mikemoke · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 18, 2019 7:56 pm
Εστω χώρος με νόρμα.

Για $x\in X-\left \{ 0 \right \}$ θέτουμε $\hat{x}=\frac{x}{\left \| x \right \|}$

Εστω $x_{n},x\in X-\left \{ 0 \right \}$
με
$x_{n}\rightarrow 0$

Να δείξετε ότι $\hat{x_{n}}\rightarrow \hat{x}$
αν και μόνο αν
υπάρχει ακολουθία φυσικών $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
με $a_{n}x_{n}\rightarrow x$

μέχρι 21-9-2019

$(\Rightarrow)$ $x_n \to 0 \Rightarrow \left \| x_n \right \| \to 0$

$\hat{x_n}\to \hat{x} \Rightarrow \left \| \frac{x_n}{\left \| x_n \right \|} -\frac{x}{\left \| x \right \|}\right \|\to 0\Rightarrow \left \| \frac{\left \| x \right \|x_n}{\left \| x_n \right \|} -x\right \|\to 0$

$a_n:=\left \lfloor \frac{ \left \| x\right \| }{\left \| x_n \right \|} \right \rfloor , n \in \mathbb{N}$

$\left \| a_nx_n-x \right \|\leq \left \| a_nx_n - \frac{\left \| x \right \|}{\left \| x_n \right \|}x_n \right \|+\left \| \frac{\left \| x \right \|}{\left \| x_n \right \|}x_n -x \right \| \to 0+0=0$

$(\Leftarrow) \hat{x_n}=\frac{x_n}{\left \| x_n \right \|}=\frac{a_nx_n}{\left \| a_nx_n \right \|}\to \frac{x}{\left \| x \right \|}=\hat{x}$

Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα

Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα

Re: Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα

Μέλη σε σύνδεση