Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Σεπ 18, 2019 7:56 pm

Εστω X χώρος με νόρμα.

Για x\in X-\left \{ 0 \right \} θέτουμε \hat{x}=\frac{x}{\left \| x \right \|}

Εστω x_{n},x\in X-\left \{ 0 \right \}
με
x_{n}\rightarrow 0

Να δείξετε ότι \hat{x_{n}}\rightarrow \hat{x}
αν και μόνο αν
υπάρχει ακολουθία φυσικών (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}
με a_{n}x_{n}\rightarrow x


μέχρι 21-9-2019



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Σύγκλιση σε χώρο με νόρμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Πέμ Σεπ 19, 2019 11:42 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Σεπ 18, 2019 7:56 pm
Εστω X χώρος με νόρμα.

Για x\in X-\left \{ 0 \right \} θέτουμε \hat{x}=\frac{x}{\left \| x \right \|}

Εστω x_{n},x\in X-\left \{ 0 \right \}
με
x_{n}\rightarrow 0

Να δείξετε ότι \hat{x_{n}}\rightarrow \hat{x}
αν και μόνο αν
υπάρχει ακολουθία φυσικών (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}
με a_{n}x_{n}\rightarrow x


μέχρι 21-9-2019
(\Rightarrow) x_n \to 0 \Rightarrow \left \| x_n \right \| \to 0

\hat{x_n}\to \hat{x} \Rightarrow \left \| \frac{x_n}{\left \| x_n \right \|} -\frac{x}{\left \| x \right \|}\right \|\to 0\Rightarrow \left \| \frac{\left \| x \right \|x_n}{\left \| x_n \right \|} -x\right \|\to 0

a_n:=\left \lfloor \frac{ \left \| x\right \| }{\left \| x_n \right \|} \right \rfloor , n \in \mathbb{N}

\left \| a_nx_n-x \right \|\leq \left \| a_nx_n - \frac{\left \| x \right \|}{\left \| x_n \right \|}x_n \right \|+\left \| \frac{\left \| x \right \|}{\left \| x_n \right \|}x_n -x \right \| \to 0+0=0

(\Leftarrow) \hat{x_n}=\frac{x_n}{\left \| x_n \right \|}=\frac{a_nx_n}{\left \| a_nx_n \right \|}\to \frac{x}{\left \| x \right \|}=\hat{x}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης