ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ, ΒΑ

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ, ΒΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Πέμ Σεπ 05, 2019 6:40 pm

Έστω δύο τετραγωνικοί πίνακες A και Β με n γραμμες και n στήλες, και δίνεται οτι ο πίνακας Β ειναι και αντιστρέψιμος. Να αποδείξετε οτι οι πίνακες AB και BA έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές.

Αυτό μπήκε στις εξετάσεις και ήταν το μοναδικό που δεν κατάφερα γιατι κόλλησα!

Δοκίμασα να ξεκινήσω με χαρακτηριστικά πολυώνυμα αλλά τίποτα.

Απο την σχέση BAu = λu κατέληξα απλώς στην σχέση Au = λ B^(-1) u , όπου u ιδιοδιάνυσμα του ΒΑ που ανιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4000
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ, ΒΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Σεπ 05, 2019 6:49 pm

Maidenas έγραψε:
Πέμ Σεπ 05, 2019 6:40 pm
Έστω δύο τετραγωνικοί πίνακες A και B με n γραμμες και n στήλες, και δίνεται ότι ο πίνακας B είναι και αντιστρέψιμος. Να αποδείξετε ότι οι πίνακες AB και BA έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές.
Επειδή το {\rm \LaTeX} δε δουλεύει για κάποιο λόγο γράφω το ποστ χωρίς αυτό. Έστω \lambda ιδιοτιμή του AB. Τότε υπάρχει x \neq 0 τέτοιο ώστε ABx = λχ όπως πολύ σωστά έγραψες. Θέσε y=Bx. Τότε y ... 0 . Και άρα BAy = BABx = .... !! Σχεδόν τελείωσες.


Υ.Σ: Καλό είναι τα Ελληνικά να γράφονται με τόνους.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ, ΒΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Πέμ Σεπ 05, 2019 7:00 pm

Πωωωω! Ήταν τόσο απλό τελικά!!! Ευχαριστώ πάρα πολύ!!!!!!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ, ΒΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 05, 2019 7:27 pm

Maidenas έγραψε:
Πέμ Σεπ 05, 2019 7:00 pm
Πωωωω! Ήταν τόσο απλό τελικά!!! Ευχαριστώ πάρα πολύ!!!!!!
Πιο απλό από ότι νομίζεις
Οι πίνακες είναι όμοιοι.
Έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό το ίδιο ελάχιστο κλπ

AB=B^{-1}BAB
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Παρ Σεπ 06, 2019 11:08 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ, ΒΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 05, 2019 8:10 pm

Ετσι όπως το έκανες δουλεύει και για μη αντιστρέψιμους.

Το 0 είναι ιδιοτιμή του AB και BA

Αν a ιδιοτιμή με a\neq 0 του AB

τότε ABx=ax,x\neq 0

Αρα και Bx\neq 0

Αλλά BABx=aBx που δείχνει ότι τοa ιδιοτιμή του BA.

Λόγω συμμετρίας έχουν τις ιδιες ιδιοτιμές.
Μπορεί να αποδειχθεί οτι έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό.
Δεν έχουν όμως πάντα το ίδιο ελάχιστο.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Παρ Σεπ 06, 2019 11:10 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΒ, ΒΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Παρ Σεπ 06, 2019 10:11 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Σεπ 05, 2019 7:27 pm

Πιο απλό από ότι νομίζεις
Οι πίνακες είναι όμοιοι.
Έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό το ίδιο ελάχιστο κλπ

AB=B^{-1}BAB
Ευφυέστατος ο τρόπος αυτός!!! Με εντυπωσίασε η απλότητά του!!! Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης