Σελίδα 1 από 1

Αντιστρέψιμος πίνακας

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Αύγ 31, 2019 10:05 am
από Tolaso J Kos
Έστω A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο A-B να είναι αντιστρέψιμος. Συμβολίζουμε με \mathbb{I} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι ο A+B-AB είναι αντιστρέψιμος.


Μέχρι 2 Σεπτέμβρη.

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 03, 2019 11:11 am
από Demetres
Ας το κλείσουμε και αυτό. Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο αλλά το πρώτο που βρήκα είναι το πιο κάτω:

Χρησιμοποιώντας ότι A^2=A και B^2=B έχουμε

(A-B)(A+B-AB) = A+AB-AB-BA-B+BAB = A-BA-B+BAB = (I-BA)(A-B)

Αφού ο A-B είναι αντιστρέψιμος, αρκεί να δείξουμε και ότι ο I-BA είναι αντιστρέψιμος. Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει αυτό. Τότε υπάρχει v \neq 0 ώστε (I-BA)v=0 άρα και BAv = v. Τότε Bv = B^2Av = BAv = v. Αν Av=v τότε θα είχαμε και (A-B)v=Av-Bv=v-v=0, άτοπο αφού A-B αντιστρέψιμος. Άρα Av=u\neq v. Τότε Au = A^2v = Av = u και Bu = BAv=v. Τότε όμως (A-B)(u-v) = Au-Av-Bu+Bv = u-u-v+v πάλι άτοπο.

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 03, 2019 12:43 pm
από Tolaso J Kos
Ωραία Δημήτρη. Παραθέτω όλη την άσκηση.

Έστω A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) ταυτοδύναμοι πίνακες τέτοιοι ώστε ο A-B να είναι αντιστρέψιμος και \alpha, \beta \in \mathbb{C}. Συμβολίζουμε με \mathbb{I} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) το μοναδιαίο πίνακα. Να δειχθεί ότι:
  1. αν \alpha \notin \{0,-1\} τότε ο \mathbb{I}+\alpha AB δεν είναι απαραίτητα αντιστρέψιμος.
  2. αν \alpha \in \{0,-1\} τότε ο \mathbb{I}+\alpha AB είναι αντιστρέψιμος.
  3. ο A+B-AB είναι αντιστρέψιμος.
  4. αν \alpha \beta \neq 0 τότε ο \alpha A+\beta B είναι αντιστρέψιμος.

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 03, 2019 3:49 pm
από Demetres
Το (iii) έχει ήδη αποδειχθεί. Το (ii) έχει επίσης ουσιαστικά αποδειχθεί.

Έστω \alpha \neq 0,-1. Θέτουμε A =\begin{pmatrix} 
0 & 0 \\ -1/\alpha & 1 
\end{pmatrix} και B =\begin{pmatrix} 
1 & 1 \\ 0 & 0 
\end{pmatrix} . Ένας απλός έλεγχος δείχνει ότι A^2=A και B^2=B. Επίσης, \displaystyle  A-B =\begin{pmatrix} 
-1 & -1 \\  -1/\alpha & 1 
\end{pmatrix}. Έχουμε \det(A-B) = -1 - \tfrac{1}{\alpha} \neq 0. Οπότε ο A-B είναι αντιστρέψιμος. Αλλά AB =\begin{pmatrix} 
0 & 0 \\ 
-1/\alpha & -1/\alpha 
\end{pmatrix} οπότε ο I + \alpha AB =\begin{pmatrix} 
1 & 0 \\ -1 & 0 
\end{pmatrix} δεν είναι αντιστρέψιμος. Αυτό αποδεικνύει το (i).

Τέλος για το (iv) ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι (\alpha A + \beta B)v = 0 για κάποιο v \neq 0. Υποθέτουμε ότι Av=u. Τότε Au = A^2v = Av  =u, Bv = -\frac{\alpha}{\beta}Av = -\frac{\alpha}{\beta}u και τέλος Bu = -\frac{\beta}{\alpha}B^2v = -\frac{\beta}{\alpha}Bv = u.

Αφού τώρα είναι Au=u και Bu = u τότε (A-B)u = 0. Αυτό είναι άτοπο εκτός και αν u=0. Αλλά σε αυτήν την περίπτωση έχουμε Av=Bv=0 που δίνει (A-B)v=0 το οποίο είναι άτοπο αφού v \neq 0.

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 03, 2019 4:35 pm
από Tolaso J Kos
:coolspeak: