Οριο ακολουθίας

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2378
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Οριο ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 20, 2019 1:16 pm

Θεωρούμε την ακολουθία (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}

με a_{n}\geq 0,n\in \mathbb{N}

Φτιάχνουμε μια νέα ακολουθία την

b_{n}=\sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+....+a_{n}^{n}}

Να δειχθεί ότι το

\lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}

υπάρχει στο

[0,\infty )\cup \left \{ \infty \right \}

και να βρεθεί.
(εννοείται ότι είναι κάτι που σχετίζεται με την (a_{n})_{n\in \mathbb{N}})

Μέχρι 25-5-2019



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 122
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Οριο ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Δευ Μάιος 20, 2019 7:10 pm

Δεν είμαι απολύτως σίγουρος για την ορθότητα της λύσης:

Έστω a=\sup a_n. Προφανώς, αφού a_n>0\ \forall n\in\mathbb{N}, είναι a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_n^n\leqslant na^n\Leftrightarrow a\leqslant b_n\leqslant a\sqrt[n]{n}. Όμως, \lim a=a και \lim\left(a\sqrt[n]{n}\right)=a\lim\sqrt[n]{n}=a. Άρα, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, το όριο \lim b_n υπάρχει και είναι \lim b_n=a. Αν η \left(a_n\right) δεν έχει άνω φράγματα, τότε θα \lim b_n=\infty.


*Το τυπογραφικό διορθώθηκε.
τελευταία επεξεργασία από nikos_el σε Δευ Μάιος 20, 2019 7:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


The road to success is always under construction
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2378
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Οριο ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μάιος 20, 2019 7:28 pm

nikos_el έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 7:10 pm
Δεν είμαι απολύτως σίγουρος για την ορθότητα της λύσης:

Έστω a=\sup a_n. Προφανώς, αφού a_n>0\ \forall n\in\mathbb{N}, είναι a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_n^n\leqslant na_n^n\Leftrightarrow a\leqslant b_n\leqslant a\sqrt[n]{n}. Όμως, \lim a=a και \lim\left(a\sqrt[n]{n}\right)=a\lim\sqrt[n]{n}=a. Άρα, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, το όριο \lim b_n υπάρχει και είναι \lim b_n=a. Αν η \left(a_n\right) δεν έχει άνω φράγματα, τότε θα \lim b_n=\infty.
Μπράβο.

Λεπτομέριες λείπουν

Η βασική σχέση

a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_n^n\leqslant na_n^n.

λόγω τυπογραφικού θα έπρεπε να γραφεί

a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_n^n\leqslant na^n

Η δεξιά ανισότητα είναι σωστή.

Η αριστερή έχει πρόβλημα.

Ισχύει για n\geq n_{0} αν a=a_{n_{0}}

Το πρόβλημα είναι αν a> a_{n},n\in \mathbb{N}

Και βέβαια για a=\infty θέλει λιγο παραπάνω δικαιολόγηση


Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 122
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Οριο ακολουθίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Δευ Μάιος 20, 2019 7:44 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 7:28 pm
a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_n^n\leqslant na^n

Η δεξιά ανισότητα είναι σωστή.

Η αριστερή έχει πρόβλημα.

Ισχύει για n\geq n_{0} αν a=a_{n_{0}}

Το πρόβλημα είναι αν a> a_{n},n\in \mathbb{N}
Σε αυτό το σημείο έγκειται και η αβεβαιότητα για την ορθότητα της λύσης μου.


The road to success is always under construction
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11148
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οριο ακολουθίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 21, 2019 4:43 pm

nikos_el έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 7:44 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 7:28 pm

Η αριστερή έχει πρόβλημα.
Σε αυτό το σημείο έγκειται και η αβεβαιότητα για την ορθότητα της λύσης μου.
.
Ας δώσω μία υπόδειξη για να επιδιορθωθεί το σημείο που επισημαίνει ο Σταύρος: Για δοθέν \epsilon >0 υπάρχει n_0 με a-\epsilon \le a_{n_0} (γιατί;). Έπεται ότι για κάθε n\ge n_0 ισχύει

a-\epsilon \le \sqrt [n]{ a_1^n+a_2^n+...+a_n^n} \le  a\sqrt[n]{n}.

Συνέχισε.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11148
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Οριο ακολουθίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 16, 2019 9:30 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Μάιος 21, 2019 4:43 pm
Ας δώσω μία υπόδειξη για να επιδιορθωθεί το σημείο που επισημαίνει ο Σταύρος: Για δοθέν \epsilon >0 υπάρχει n_0 με a-\epsilon \le a_{n_0} (γιατί;). Έπεται ότι για κάθε n\ge n_0 ισχύει

a-\epsilon \le \sqrt [n]{ a_1^n+a_2^n+...+a_n^n} \le  a\sqrt[n]{n}.

Συνέχισε.
Νίκο, χάθηκες. Καμιά πρόοδος στο παραπάνω;


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης