Όριο με ρίζα

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Όριο με ρίζα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 18, 2019 11:50 pm

Έστω a_i \; , \; i =1, 2, \dots, k θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_k . Να δειχθεί ότι:


\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} = \max\left \{ a_1, a_2 , \dots, a_k \right \}
Μέχρι 20/05/19.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11152
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο με ρίζα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 19, 2019 12:01 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μάιος 18, 2019 11:50 pm
Έστω a_i \; , \; i =1, 2, \dots, k θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_k . Να δειχθεί ότι:
\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_k^n} = \max\left \{ a_1, a_2 , \dots, a_k \right \}
Ας κάνω μία βελτίωση στην εκφώνηση: Δεδομένου ότι a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_k, το \max\left \{ a_1, a_2 , \dots, a_k \right \} είναι βέβαια a_1.

Με λίγα λόγια, η συνθήκη a_1\geq a_2\geq \cdots \geq a_k περιττεύει.


Άβαταρ μέλους
nikos_el
Δημοσιεύσεις: 122
Εγγραφή: Παρ Ιαν 02, 2015 5:00 pm

Re: Όριο με ρίζα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikos_el » Κυρ Μάιος 19, 2019 1:11 pm

Έστω a=\max\left\lbrace a_i\right\rbrace. Προφανώς, αφού a_i>0, ισχύει: a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_k^n\leqslant ka^n\Leftrightarrow a\leqslant\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}\leqslant a\sqrt[n]{k}. Όμως, \lim a=a και \lim\left(a\sqrt[n]{k}\right)=a\cdot\lim k^{1/n}=a. Επομένως, από το κριτήριο παρεμβολής, παίρνουμε \lim\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}=a=\max\left\lbrace a_1, a_2, …, a_k\right\rbrace.


Τι γίνεται αν τα a_i δεν είναι απαραιτήτως θετικά;


The road to success is always under construction
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11152
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο με ρίζα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Μάιος 19, 2019 2:41 pm

nikos_el έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:11 pm
Τι γίνεται αν τα a_i δεν είναι απαραιτήτως θετικά;
Τότε το όριο μπορεί να μην υπάρχει. Π.χ. για k=2, a_1=1, a_2=-1 για μεν άρτια n είναι   \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n } =\sqrt[n]{2 } \to 1 για δε περιττά,   \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n } =\sqrt[n]{0 } \to 0.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2378
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο με ρίζα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 19, 2019 2:42 pm

nikos_el έγραψε:
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:11 pm
Έστω a=\max\left\lbrace a_i\right\rbrace. Προφανώς, αφού a_i>0, ισχύει: a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_k^n\leqslant ka^n\Leftrightarrow a\leqslant\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}\leqslant a\sqrt[n]{k}. Όμως, \lim a=a και \lim\left(a\sqrt[n]{k}\right)=a\cdot\lim k^{1/n}=a. Επομένως, από το κριτήριο παρεμβολής, παίρνουμε \lim\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}=a=\max\left\lbrace a_1, a_2, …, a_k\right\rbrace.


Τι γίνεται αν τα a_i δεν είναι απαραιτήτως θετικά;
Εξαρτάται.
Πρέπει να δούμε το εξής.
Αν το a_{i} με |a_{i}|=max\left \{ |a_{k}|:k=1,2,...,n \right \}
είναι θετικό η αρνητικό .
π.χ αν είναι θετικό και a_{i}> |a_{k}|,k\neq i
συγκλίνει στο a_{i}
ενώ αν είναι αρνητικό με |a_{i}|> |a_{k}|,k\neq i
δεν συγκλίνει.
Υπάρχουν και άλλες περιπτώσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης