Σχέση με συνάρτηση φ

Tolaso J Kos · #1

Έστω

και ας είναι $\omega \in \mathbb{C}$ μία πρωταρχική ρίζα της μονάδος. Δείξατε ότι:

$\displaystyle{[\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1}) :\mathbb{Q}]=\frac{\varphi (n)}{2}}$
όπου $\varphi$ η συνάρτηση του Euler.

Μέχρι

bouzoukman · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 12, 2019 1:24 pm
Έστω και ας είναι $\omega \in \mathbb{C}$ μία πρωταρχική ρίζα της μονάδος. Δείξατε ότι:

$\displaystyle{[\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1}) :\mathbb{Q}]=\frac{\varphi (n)}{2}}$
όπου $\varphi$ η συνάρτηση του Euler.

Μέχρι

Είναι γνωστό από τη μελέτη των cyclotomic fields ότι $[\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}]=\phi(n)$ . Επίσης γνωρίζουμε ότι το $\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1})\subset\mathbb R$ ενώ το $\mathbb{Q}(\omega)\not\subset\mathbb R$ . Εύκολα βλέπουμε ότι το $\omega$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $x^2 - (\omega + \omega^{-1})x + 1\in\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1})[x]$ . Αρα $[\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1})]=2$ και το αποτέλεσμα έπεται εύκολα.

Tolaso J Kos · #3

Σωστά!

bouzoukman · #4

Απλώς να αναφέρω που ξέχασα ότι ένα καλό βιβλίο σχετικά με τα cyclotomic fields είναι του Washington .

Καλή συνέχεια!

Σχέση με συνάρτηση φ

Σχέση με συνάρτηση φ

Re: Σχέση με συνάρτηση φ

Re: Σχέση με συνάρτηση φ

Re: Σχέση με συνάρτηση φ

Μέλη σε σύνδεση