Σχέση με συνάρτηση φ

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σχέση με συνάρτηση φ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μάιος 12, 2019 1:24 pm

Έστω n>2 και ας είναι \omega \in \mathbb{C} μία πρωταρχική ρίζα της μονάδος. Δείξατε ότι:

\displaystyle{[\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1}) :\mathbb{Q}]=\frac{\varphi (n)}{2}}
όπου \varphi η συνάρτηση του Euler.


Μέχρι 15/05/2019


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Σχέση με συνάρτηση φ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Σάβ Μάιος 18, 2019 4:52 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Μάιος 12, 2019 1:24 pm
Έστω n>2 και ας είναι \omega \in \mathbb{C} μία πρωταρχική ρίζα της μονάδος. Δείξατε ότι:

\displaystyle{[\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1}) :\mathbb{Q}]=\frac{\varphi (n)}{2}}
όπου \varphi η συνάρτηση του Euler.


Μέχρι 15/05/2019

Είναι γνωστό από τη μελέτη των cyclotomic fields ότι [\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}]=\phi(n). Επίσης γνωρίζουμε ότι το \mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1})\subset\mathbb R ενώ το \mathbb{Q}(\omega)\not\subset\mathbb R. Εύκολα βλέπουμε ότι το \omega είναι ρίζα του πολυωνύμου x^2 - (\omega + \omega^{-1})x + 1\in\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1})[x]. Αρα [\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}(\omega + \omega^{-1})]=2 και το αποτέλεσμα έπεται εύκολα.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B.Pascal
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σχέση με συνάρτηση φ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 18, 2019 10:16 pm

Σωστά!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Σχέση με συνάρτηση φ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Κυρ Μάιος 19, 2019 3:16 pm

Απλώς να αναφέρω που ξέχασα ότι ένα καλό βιβλίο σχετικά με τα cyclotomic fields είναι του Washington .

Καλή συνέχεια!


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B.Pascal
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης