Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 10, 2019 3:59 pm

Δίνεται η
f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}
με
f(x+iy)=ax^{2}+bxy+ay^{2}

οπού x,y\in \mathbb{R}

και a,b μη μηδενικοί μιγαδικοί.

Να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη για τα a,b ώστε
το μοναδικό σημείο στο οποίο έχει μιγαδική παράγωγο
η f να είναι το 0+i0

Μέχρι 20-5-2019



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8206
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Σεπ 19, 2019 10:32 am

Έμεινε αρκετό καιρό ανοικτή οπότε ας την κλείσουμε.

Έχουμε f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) όπου u(x,y) = ax^2 + bxy + ay^2 και v(x,y) = 0. Επίσης, \displaystyle  \frac{\partial u}{\partial x} = 2ax + by, \frac{\partial u}{\partial y} = 2ay + bx και \displaystyle  \frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} = 0.

Επειδή οι μερικές παραγώγοι είναι συνεχείς, τότε η f θα είναι παραγωγίσιμη στο x_0+iy_0 αν και μόνο αν ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauchy-Riemann σε αυτό το σημείο. Δηλαδή αν και μόνο αν 2ax_0 + by_0 = 2ay_0 + bx_0 = 0.

Οι εξισώσεις ικανοποιούνται σίγουρα στο (0,0). Αν b=2a τότε θα ικανοποιούνται και στο (1,-1) ενώ αν b = -2a τότε θα ικανοποιούνται και στο (1,1). Θα δείξουμε ότι αν b \neq \pm 2a τότε θα ικανοποιούνται μόνο στο (0,0).

Η πρώτη εξίσωση δίνει 2abx_0 = -by_0^2 και η δεύτερη δίνει 2abx_0 = -4ay_0^2. Αυτές οι δύο δίνουν y_0^2(2a-b)(2a+b) = 0. Για b \neq \pm 2a παίρνουμε y_0 = 0. Τότε έχουμε bx_0 = 0 και 2ax_0 = 0. Οπότε είτε x_0 = 0 είτε x_0 \neq 0 και a=b=0. Το τελευταίο απορρίπτεται αφού τότε b=2a.

Άρα η f είναι παραγωγίσιμη μόνο στο 0 αν και μόνο αν b \neq  \pm 2a.

Όπως με ενημέρωσε ο Σταύρος, θεώρησα λανθασμένα ότι a,b \in  \mathbb{R}. :oops:
Δείτε την επόμενη ανάρτηση για τη διόρθωση.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8206
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Σεπ 19, 2019 1:09 pm

Ας γράψουμε a = a_1 + ia_2 και b = b_1 + ib_2 όπου a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{R}. Τότε u(x,y) = a_1x^2 + b_1xy + a_1y^2 και v(x,y) = a_2x^2 + b_2xy + a_2y^2.

Οι εξισώσεις Cauchy-Riemann δίνουν:

2a_1x + b_1 y = b_2x + 2a_2y και b_1x+2a_1y = -(2a_2x+b_2y).

Οπότε η f είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμη στα σημεία (x,y) τα οποία είναι λύσεις της \displaystyle \begin{pmatrix} 
2a_1-b_2 & b_1-2a_2 \\ 
b_1 + 2a_2 & 2a_1 + b_2 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
 
x \\ y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 
 
0 \\ 0\end{pmatrix}

Το (0,0) είναι πάντα λύση του συστήματος. Από γραμμική άλγεβρα δεν υπάρχουν άλλες λύσεις αν και μόνο αν (2a_1-b_2)(2a_1+b_2) - (b_1+2a_2)(b_1-2a_2) \neq 0 ή ισοδύναμα αν και μόνο αν 4(a_1 + a_2)^2 \neq b_1^2 + b_2^2. Δηλαδή αν και μόνο αν 2|a| \neq |b|.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Σεπ 19, 2019 2:44 pm

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2 ... _equations

Για την f(z,\bar{z}) με

\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} και \frac{\partial f}{\partial z}
συνεχείς

ισχύει ότι έχει μιγαδική παράγωγο ακριβώς στα σημεία που είναι

\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0

Εδώ εκφράζοντας τα x,y με τα z,\bar{z} παίρνουμε ότι

f(z,\bar{z})=az\bar{z}+\frac{b}{4i}(z^{2}-(\bar{z})^{2})

Προφανώς οι \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} και \frac{\partial f}{\partial z}

είναι συνεχείς.

Αλλά \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=az-\frac{2b}{4i}\bar{z}

Ετσι
\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0\Leftrightarrow z=0 \vee \frac{z}{\bar{z}}=\frac{b}{2ai}

Αρα το μόνο σημείο που παραγωγίζεται είναι το 0
αν και μόνο αν \left | b \right |\neq 2\left | a \right |


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης