Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνεται η
$f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$
με
$f(x+iy)=ax^{2}+bxy+ay^{2}$

οπού $x,y\in \mathbb{R}$

και a,b

μη μηδενικοί μιγαδικοί.

Να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη για τα a,b

ώστε
το μοναδικό σημείο στο οποίο έχει μιγαδική παράγωγο
η

να είναι το 0+i0

Μέχρι 20-5-2019

#2

Έμεινε αρκετό καιρό ανοικτή οπότε ας την κλείσουμε.

Έχουμε f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)

όπου

και

. Επίσης, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = 2ax + by, \frac{\partial u}{\partial y} = 2ay + bx$ και $\displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} = 0.$

Επειδή οι μερικές παραγώγοι είναι συνεχείς, τότε η

θα είναι παραγωγίσιμη στο x_0+iy_0

αν και μόνο αν ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauchy-Riemann σε αυτό το σημείο. Δηλαδή αν και μόνο αν 2ax_0 + by_0 = 2ay_0 + bx_0 = 0

.

Οι εξισώσεις ικανοποιούνται σίγουρα στο (0,0)

. Αν

τότε θα ικανοποιούνται και στο (1,-1)

ενώ αν

τότε θα ικανοποιούνται και στο (1,1)

. Θα δείξουμε ότι αν $b \neq \pm 2a$ τότε θα ικανοποιούνται μόνο στο (0,0)

.

Η πρώτη εξίσωση δίνει 2abx_0 = -by_0^2

και η δεύτερη δίνει 2abx_0 = -4ay_0^2

. Αυτές οι δύο δίνουν y_0^2(2a-b)(2a+b) = 0

. Για $b \neq \pm 2a$ παίρνουμε y_0 = 0

. Τότε έχουμε bx_0 = 0

και

. Οπότε είτε x_0 = 0

είτε $x_0 \neq 0$ και a=b=0

. Το τελευταίο απορρίπτεται αφού τότε b=2a

.

Άρα η

είναι παραγωγίσιμη μόνο στο

αν και μόνο αν $b \neq \pm 2a$ .

Όπως με ενημέρωσε ο Σταύρος, θεώρησα λανθασμένα ότι $a,b \in \mathbb{R}$ .

Δείτε την επόμενη ανάρτηση για τη διόρθωση.

#3

Ας γράψουμε a = a_1 + ia_2

και

όπου $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \mathbb{R}$ . Τότε u(x,y) = a_1x^2 + b_1xy + a_1y^2

και

.

Οι εξισώσεις Cauchy-Riemann δίνουν:

2a_1x + b_1 y = b_2x + 2a_2y

και

.

Οπότε η

είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμη στα σημεία (x,y)

τα οποία είναι λύσεις της $\displaystyle \begin{pmatrix} 2a_1-b_2 & b_1-2a_2 \\ b_1 + 2a_2 & 2a_1 + b_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}$

Το (0,0)

είναι πάντα λύση του συστήματος. Από γραμμική άλγεβρα δεν υπάρχουν άλλες λύσεις αν και μόνο αν $(2a_1-b_2)(2a_1+b_2) - (b_1+2a_2)(b_1-2a_2) \neq 0$ ή ισοδύναμα αν και μόνο αν $4(a_1 + a_2)^2 \neq b_1^2 + b_2^2$ . Δηλαδή αν και μόνο αν $2|a| \neq |b|$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2 ... _equations

Για την $f(z,\bar{z})$ με

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ και $\frac{\partial f}{\partial z}$
συνεχείς

ισχύει ότι έχει μιγαδική παράγωγο ακριβώς στα σημεία που είναι

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$

Εδώ εκφράζοντας τα x,y

με τα $z,\bar{z}$ παίρνουμε ότι

$f(z,\bar{z})=az\bar{z}+\frac{b}{4i}(z^{2}-(\bar{z})^{2})$

Προφανώς οι $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ και $\frac{\partial f}{\partial z}$

είναι συνεχείς.

Αλλά $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=az-\frac{2b}{4i}\bar{z}$

Ετσι
$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0\Leftrightarrow z=0 \vee \frac{z}{\bar{z}}=\frac{b}{2ai}$

Αρα το μόνο σημείο που παραγωγίζεται είναι το

αν και μόνο αν $\left | b \right |\neq 2\left | a \right |$

Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

Re: Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

Re: Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

Re: Παραγωγίσιμη μόνο στο 0

Μέλη σε σύνδεση