Έμεινε αρκετό καιρό ανοικτή οπότε ας την κλείσουμε.
Έχουμε

όπου

και

. Επίσης,

και
Επειδή οι μερικές παραγώγοι είναι συνεχείς, τότε η

θα είναι παραγωγίσιμη στο

αν και μόνο αν ικανοποιούνται οι εξισώσεις Cauchy-Riemann σε αυτό το σημείο. Δηλαδή αν και μόνο αν

.
Οι εξισώσεις ικανοποιούνται σίγουρα στο

. Αν

τότε θα ικανοποιούνται και στο

ενώ αν

τότε θα ικανοποιούνται και στο

. Θα δείξουμε ότι αν

τότε θα ικανοποιούνται μόνο στο

.
Η πρώτη εξίσωση δίνει

και η δεύτερη δίνει

. Αυτές οι δύο δίνουν

. Για

παίρνουμε

. Τότε έχουμε

και

. Οπότε είτε

είτε

και

. Το τελευταίο απορρίπτεται αφού τότε

.
Άρα η

είναι παραγωγίσιμη μόνο στο

αν και μόνο αν

.
Όπως με ενημέρωσε ο Σταύρος, θεώρησα λανθασμένα ότι
.
Δείτε την επόμενη ανάρτηση για τη διόρθωση.