Είναι μετρική;

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Είναι μετρική;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 15, 2019 10:21 pm

Να εξεταστεί αν η \rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right | όπου

\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} 
\arctan x & , & x \in \mathbb{Q} \\  
\arctan (x+1) & , &  x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} 
\end{matrix}\right.}
ορίζει στον \mathbb{R} μετρική.


Να γίνει το ίδιο για την \rho(x, y) = \left | \sin x-\sin y \right |.

Μέχρι 17/04/19.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Είναι μετρική;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Απρ 20, 2019 8:41 am

Επαναφορά για όλους.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11147
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Είναι μετρική;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 20, 2019 6:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 15, 2019 10:21 pm
Να εξεταστεί αν η \rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right | όπου

\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} 
\arctan x & , & x \in \mathbb{Q} \\  
\arctan (x+1) & , &  x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} 
\end{matrix}\right.}
ορίζει στον \mathbb{R} μετρική.


Να γίνει το ίδιο για την \rho(x, y) = \left | \sin x-\sin y \right |.
Για να κλείνει.

α) Είναι \rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |= \left | f(y)-f(x) \right |= \rho(y, x) και \rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |\le \left | f(x)-f(z) \right |+ \left | f(z)-f(y) \right |= \rho(x, z) +\rho(z, y) και προφανώς \rho(x, y) \ge 0. Έστω τώρα \rho(x, y) = \left | f(x)-f(y) \right |=0. Δεν μπορεί ο ένας από τους x,y να είναι ρητός και ο άλλος άρρητος γιατί τότε (χωρίς βλάβη)  \arctan x = \arctan (y+1) , δηλαδή x=y+1. Που όμως δεν γίνεται γιατί ο ένας από τους x, y+1 είναι ρητός και ο άλλος (άρρητος +1)= άρρητος. Άρα και οι δύο είναι ρητοί ή και οι δύο άρρητοι. Οπότε είτε x=y ή x+1=y+1, αντίστοιχα. Και στις δύο περιπτώσεις, x=y.

β) Δεν είναι μετρική καθώς 0\ne \pi αλλά \rho(0, \pi) = \left | \sin 0-\sin \pi \right |=0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης