Σελίδα 1 από 1

Είναι μετρική;

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 15, 2019 10:21 pm
από Tolaso J Kos
Να εξεταστεί αν η \rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right | όπου

\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} 
\arctan x & , & x \in \mathbb{Q} \\  
\arctan (x+1) & , &  x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} 
\end{matrix}\right.}
ορίζει στον \mathbb{R} μετρική.


Να γίνει το ίδιο για την \rho(x, y) = \left | \sin x-\sin y \right |.

Μέχρι 17/04/19.

Re: Είναι μετρική;

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 20, 2019 8:41 am
από Tolaso J Kos
Επαναφορά για όλους.

Re: Είναι μετρική;

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 20, 2019 6:04 pm
από Mihalis_Lambrou
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 15, 2019 10:21 pm
Να εξεταστεί αν η \rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right | όπου

\displaystyle{f(x) = \left\{\begin{matrix} 
\arctan x & , & x \in \mathbb{Q} \\  
\arctan (x+1) & , &  x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} 
\end{matrix}\right.}
ορίζει στον \mathbb{R} μετρική.


Να γίνει το ίδιο για την \rho(x, y) = \left | \sin x-\sin y \right |.
Για να κλείνει.

α) Είναι \rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |= \left | f(y)-f(x) \right |= \rho(y, x) και \rho(x, y) =\left | f(x)-f(y) \right |\le \left | f(x)-f(z) \right |+ \left | f(z)-f(y) \right |= \rho(x, z) +\rho(z, y) και προφανώς \rho(x, y) \ge 0. Έστω τώρα \rho(x, y) = \left | f(x)-f(y) \right |=0. Δεν μπορεί ο ένας από τους x,y να είναι ρητός και ο άλλος άρρητος γιατί τότε (χωρίς βλάβη)  \arctan x = \arctan (y+1) , δηλαδή x=y+1. Που όμως δεν γίνεται γιατί ο ένας από τους x, y+1 είναι ρητός και ο άλλος (άρρητος +1)= άρρητος. Άρα και οι δύο είναι ρητοί ή και οι δύο άρρητοι. Οπότε είτε x=y ή x+1=y+1, αντίστοιχα. Και στις δύο περιπτώσεις, x=y.

β) Δεν είναι μετρική καθώς 0\ne \pi αλλά \rho(0, \pi) = \left | \sin 0-\sin \pi \right |=0.