Όριο ακολουθίας

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2575
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Όριο ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 06, 2019 2:58 pm

Εστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

συνάρτηση με
f(0)=0 και η
f είναι παραγωγίσημη στο 0.

Θέτουμε a_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})

Βρείτε το \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}

μέχρι 10-4-2019



Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 179
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Όριο ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Κυρ Απρ 07, 2019 2:39 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Απρ 06, 2019 2:58 pm
Εστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

συνάρτηση με
f(0)=0 και η
f είναι παραγωγίσημη στο 0.

Θέτουμε a_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})

Βρείτε το \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}

μέχρι 10-4-2019
Γεια σας κύριε Σταύρο, ξεκινάμε με το εξής:
Αφού f παραγωγίσημη στο 0 υπάρχει συνάρτηση f^{*}(x) συνεχής στο 0 και:
\displaystyle{f^{*}(x)\cdot x=f(x)-f(0) } .

Από τα παραπάνω (f(0)=0) έχουμε:

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})=\sum_{k=1}^{n}f^{*}(\frac{k}{n^{2}})\cdot\frac{k}{n^{2}}}

Έστω ε>0 τυχόν.

Από την συνέχεια της f^{*} στο 0 υπάρχει n_{0} ώστε για κάθε n\geq n_{0} και k\leq n:
\displaystyle{f{'}(0)+2\varepsilon <f^{*}(\frac{k}{n^{2}})<f{'}(0)+2\varepsilon \Rightarrow (f{'}(0)-2\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}<a_{n}<(f{'}(0)+2\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}}

Ο όρος:
\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}\rightarrow \int_{0}^{1}x=\frac{1}{2}}

Άρα για n αρκετά μεγάλο:
\displaystyle{\frac{f{'}(0)}{2}-\varepsilon <a_{n}<\frac{f{'}(0)}{2}+\varepsilon }

και αφού το ε ήταν τυχόν, έπεται:
\displaystyle{a_{n}\rightarrow \frac{f{'}(0)}{2}}


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2575
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 07, 2019 8:14 pm

sot arm έγραψε:
Κυρ Απρ 07, 2019 2:39 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Απρ 06, 2019 2:58 pm
Εστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

συνάρτηση με
f(0)=0 και η
f είναι παραγωγίσημη στο 0.

Θέτουμε a_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})

Βρείτε το \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}

μέχρι 10-4-2019
Γεια σας κύριε Σταύρο, ξεκινάμε με το εξής:
Αφού f παραγωγίσημη στο 0 υπάρχει συνάρτηση f^{*}(x) συνεχής στο 0 και:
\displaystyle{f^{*}(x)\cdot x=f(x)-f(0) } .

Από τα παραπάνω (f(0)=0) έχουμε:

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}})=\sum_{k=1}^{n}f^{*}(\frac{k}{n^{2}})\cdot\frac{k}{n^{2}}}

Έστω ε>0 τυχόν.

Από την συνέχεια της f^{*} στο 0 υπάρχει n_{0} ώστε για κάθε n\geq n_{0} και k\leq n:
\displaystyle{f{'}(0)+2\varepsilon <f^{*}(\frac{k}{n^{2}})<f{'}(0)+2\varepsilon \Rightarrow (f{'}(0)-2\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}<a_{n}<(f{'}(0)+2\varepsilon)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}}

Ο όρος:
\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^{2}}\rightarrow \int_{0}^{1}x=\frac{1}{2}}

Άρα για n αρκετά μεγάλο:
\displaystyle{\frac{f{'}(0)}{2}-\varepsilon <a_{n}<\frac{f{'}(0)}{2}+\varepsilon }

και αφού το ε ήταν τυχόν, έπεται:
\displaystyle{a_{n}\rightarrow \frac{f{'}(0)}{2}}
Πολύ ωραία Σωτήρη.

(Είναι η άσκηση 26-43 στον Απειροστικός Λογισμός Τόμος ΙΙ
Σ.Νεγρεπόντης Σ.Γιωτόπουλος Ε.Γιαννακούλιας )
μόνο που εκεί έχει επιπλέον προυποθέσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης