Ύπαρξη συνάρτησης

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ύπαρξη συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 06, 2019 12:03 am

Δείξτε ότι υπάρχει μοναδική συνάρτηση

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

ώστε να ισχύουν

1)f(0)=a> 0

2)f'(x)+f(x)=\sin f(x)

κατόπιν βρείτε αν υπάρχουν τα όρια

\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x),\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)

μέχρι 10-4-2019



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Απρ 11, 2019 1:07 am

επαναφορά για όλους.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 22, 2019 12:43 pm

Ξεχάσθηκε.
Τελευταία επαναφορά πριν γράψω λύση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Οκτ 28, 2019 12:37 pm

Η ύπαρξη της συνάρτησης μπορεί να προκύψει επεκτείνοντας συνέχεια το πεδίο
ορισμού της λύσης.
Δεν ήθελα όμως αυτό.
Η ύπαρξη προκύπτει κάνοντας χρήση του παρακάτω θεωρήματος
η κάποιου παραπλήσιου.

Εστω
g:(t_{0}-a,t_{0}+a)\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}
οπου a>0 συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα
|g(t,y_{1})-g(t,y_{1})|\leq L|y_{1}-y_{2}|
Το πρόβλημα

y'(t)=g(t,y(t)),y(t_{0})=y_{0}

έχει μοναδική λύση που ορίζεται για όλα τα t στο (t_{0}-a,t_{0}+a).

Το θεώρημα δεν υπάρχει σε όλα τα βιβλία Διαφορικών εξισώσεων αν και η απόδειξη του
προκύπτει εύκολα από τα θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης που έχουν.
Υπάρχει π.χ στο
Ordinary Differential Equations
Garrett Birkhoff Gian-Carlo Rota
Θεώρημα 6 σελ 152

Εδώ που είναι g(t,y)=\sin y-y
εύκολα βλέπουμε ότι πληρούνται οι προυποθέσεις.

Για τα όρια.
Λόγω του θεωρήματος μοναδικότητας δεν μπορεί η f να μηδενίζεται.
Διατηρεί πρόσημο και λόγω της αρχικής συνθήκης και της
x> 0\Rightarrow \sin x <x
είναι φθίνουσα.
Το \lim_{x\rightarrow \infty }f(x) υπάρχει στο \mathbb{R}
και επειδή θα είναι \lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=0
αναγκαστικά θα είναι 0
Το \lim_{x\rightarrow- \infty }f(x) υπάρχει.
Αν ανήκει στο \mathbb{R} θα βγεί 0 που είναι ΑΤΟΠΟ.
Αρα είναι \infty


Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Δευ Οκτ 28, 2019 8:41 pm

Ἰσχύουν τὰ ἀκόλουθα:

1. Ἂν g: \mathbb R\to\mathbb R συνεχῶς διαφορίσιμη, τότε τὸ ΠΑΤ

\displaystyle{ 
\qquad x'=g(x), \quad x(0)=a, 
}

ἔχει λύση σὲ κάποιο ἀνοικτὸ διάστημα ποὺ περιέχει τὸ 0, καὶ ἀπολαμβάνει καθολικῆς μοναδικότητος. Δηλαδή, δύο ὁποιεσδήποτε λύσεις του ταυτίζονται στὸ κοινὸ πεδίο ὁρισμοῦ τους.

Ἐπίσης, ἡ λύση εἶναι εἴτε σταθερὰ εἴτε γνησίως μονότονη.

2. Ἂν ἐπὶ πλέον ὑπάρχουν A,B>0, ὥστε

\displaystyle{ 
\qquad |g(x)|\le A|x|+B, \quad x\in\mathbb R, 
}

τότε τὸ ἀνωτέρω ΠΑΤ ἔχει καθολικὴ λύση \varphi, δηλαδὴ ὁρισμένη σ᾽ ὅλο τὸ \mathbb R.

3. Ἂν g(a)>0 καὶ ὑπάρχουν x_1,\,x_2, ὥστε x_1<a<x_2, καὶ g(x_1)=g(x_2)=0, τότε

\displaystyle{ 
\qquad  x_1<\varphi(t)<x_2, \quad t\in\mathbb R, 
}

καὶ

\displaystyle{ 
\lim_{t\to-\infty}\varphi(t)=x_1, \quad 
\lim_{t\to\infty}\varphi(t)=x_2. 
}

4. Ἂν g(a)>0 καὶ ὑπάρχει μοναδικὀ x_1, ὥστε x_1<a, καὶ g(x_1)=0, τότε

\displaystyle{ 
\qquad  x_1<\varphi(t), \quad t\in\mathbb R, 
}

καὶ

\displaystyle{ 
\lim_{t\to-\infty}\varphi(t)=x_1, \quad 
\lim_{t\to\infty}\varphi(t)=\infty. 
}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης