Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2378
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Απρ 04, 2019 6:38 pm

Θεωρούμε δακτύλιο R μεταθετικό με μοναδιαίο.
Εστω R[x] ο δακτύλιος των πολυωνύμων.

Για έναf(x)\in R[x] με f(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}

δείξτε ότι

f(x)\in U(R[x])

αν και μόνο αν

a_{0}\in U(R)
και τα

a_{n},...,a_{1}
είναι μηδενοδύναμα στοιχεία του R

Σημείωση.Το  U(R) είναι το σύνολο των αντιστρεψίμων στοιχείων του δακτυλίου R.
Ένα στοιχείο a\in R λέγεται μηδενοδύναμο αν υπάρχει φυσικός k με a^k=0

μέχρι 10-4-2019



Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 165
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Σάβ Απρ 06, 2019 4:37 pm

Αυτή η μεταθετική τις τελευταίες μέρες έχει αφήσει το στίγμα της...Βάζω μια λύση:

Η μία κατεύθυνση έπεται από το εξής:
\displaystyle{(1_{R}+rx)(1-rx+r^{2}x^{2}-...+(-1)^{n}r^{n-1}x^{n-1})=1_{R}}

όπου \displaystyle{r \in nil(R[x])}.Η γενική περίπτωση έπεται γράφοντας: \displaystyle{a_{0}^{-1}f(x)=(a_{0}^{-1}a_{n}x^{n-1}+...+a_{0}^{-1}a_{1})x+1_{R}}

Και παρατηρώντας ότι:
\displaystyle{a_{0}^{-1}a_{n}x^{n-1}+...+a_{0}^{-1}a_{1} \in nil(R[x})}

Για την άλλη κατεύθυνση,που έχει και το ενδιαφέρον, θεωρούμε πρώτο ιδεώδες p του R.
Έστω \displaystyle{\varphi :R[x]\rightarrow \frac{R}{p}[x]} η φυσική απεικόνιση στο πηλίκο.
Τότε το στοιχείο: \displaystyle{\varphi (f(x)) \in U(\frac{R}{p}[x]) \Rightarrow deg(f(x))=0}

Αφού ο δακτύλιος πηλίκο είναι ακεραία περιοχή, καθώς το p είναι πρώτο ιδεώδες, δηλαδή:
\displaystyle{a_{i} \in p , i \in {1,2,..,n-1}} και για κάθε πρώτο ιδεώδες p του δακτυλίου.Συνεπώς,αφού:

\displaystyle{nil(R)=\bigcap_{p-prime} p \Rightarrow a_{i} \in nil(R)}

Για να δείξουμε ότι:

\displaystyle{a_{0} \in U(R) } απλά συγκρίνω συντελεστές στην ισότητα:
\displaystyle{f(x)g(x)=1_{R}}

και το ζητούμενο δείχθηκε.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2378
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 07, 2019 8:29 pm

sot arm έγραψε:
Σάβ Απρ 06, 2019 4:37 pm
Αυτή η μεταθετική τις τελευταίες μέρες έχει αφήσει το στίγμα της...Βάζω μια λύση:

Η μία κατεύθυνση έπεται από το εξής:
\displaystyle{(1_{R}+rx)(1-rx+r^{2}x^{2}-...+(-1)^{n}r^{n-1}x^{n-1})=1_{R}}

όπου \displaystyle{r \in nil(R[x])}.Η γενική περίπτωση έπεται γράφοντας: \displaystyle{a_{0}^{-1}f(x)=(a_{0}^{-1}a_{n}x^{n-1}+...+a_{0}^{-1}a_{1})x+1_{R}}

Και παρατηρώντας ότι:
\displaystyle{a_{0}^{-1}a_{n}x^{n-1}+...+a_{0}^{-1}a_{1} \in nil(R[x})}

Για την άλλη κατεύθυνση,που έχει και το ενδιαφέρον, θεωρούμε πρώτο ιδεώδες p του R.
Έστω \displaystyle{\varphi :R[x]\rightarrow \frac{R}{p}[x]} η φυσική απεικόνιση στο πηλίκο.
Τότε το στοιχείο: \displaystyle{\varphi (f(x)) \in U(\frac{R}{p}[x]) \Rightarrow deg(f(x))=0}

Αφού ο δακτύλιος πηλίκο είναι ακεραία περιοχή, καθώς το p είναι πρώτο ιδεώδες, δηλαδή:
\displaystyle{a_{i} \in p , i \in {1,2,..,n-1}} και για κάθε πρώτο ιδεώδες p του δακτυλίου.Συνεπώς,αφού:

\displaystyle{nil(R)=\bigcap_{p-prime} p \Rightarrow a_{i} \in nil(R)}

Για να δείξουμε ότι:

\displaystyle{a_{0} \in U(R) } απλά συγκρίνω συντελεστές στην ισότητα:
\displaystyle{f(x)g(x)=1_{R}}

και το ζητούμενο δείχθηκε.
Ωραία Σωτήρη.
Αν δεν κάνω λάθος για να αποδειχθεί το
sot arm έγραψε:
Σάβ Απρ 06, 2019 4:37 pm

\displaystyle{nil(R)=\bigcap_{p-prime} p \Rightarrow a_{i} \in nil(R)}
χρειάζεται το λήμμα του Zorn.

Η άσκηση (θεώρημα) μπορεί να αποδειχθεί χωρίς να χρησιμοποιήσουμε το
Αξίωμα της Επιλογής .

Θα την αφήσω λίγο και αν δεν γραφεί λύση χωρίς το Αξίωμα της Επιλογής
θα περιγράψω μία.


Είναι η άσκηση 7 σελ166 παράγραφος 3.11
του Topics in Algebra
I.N.Herstein


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2378
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Αντιστρέψιμα πολυώνυμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Απρ 10, 2019 10:06 pm

να περιγράψω την λύση χωρίς αξίωμα επιλογής.
Κάνουμε επαγωγή στον βαθμό του πολυωνύμου.
Για βαθμό 1
έστω (a_{1}x+a_{0})(b_{m}x^{m}+...+b_{1}x+b_{0})=1
Προκύπτει ότι

a_{1}b_{m}=0

a_{1}b_{m-1}+a_{0}b_{m}=0


a_{1}b_{m-2}+a_{0}b_{m-1}=0
.
.
a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1}=0

.
a_{0}b_{0}=0

Πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη με a_{1}
την τρίτη με a_{1}^{2}
κλπ

παίρνουμε ότι a_{1}^{m+1}b_{0}=0

επειδή b_{0}

αντιστρεψιμο το a_{1} είναι μηδενοδήναμο.

εστω p(x)=a_{n}x^{n}+q(x)

αντιστρέψιμο όπου το q(x) εχει βαθμό m-1

έχουμε p(x)r(x)=1

είναι εύκολο? όπως στην περίπτωση του πρωτοβαθμίου πολυωνύμου ότι το a_{n}x^{n}
είναι μηδενοδήναμο
η προηγούμενη γράφεται

1=r(x)a_{n}x^{n}+r(x)q(x)

υψώνοντας στην δύναμη που το a_{n}x^{n} είναι μηδενοδύναμο παίρνουμε

1=h(x)q(x)

ετσι το q(x) είναι αντιστρέψιμο .

απο την επαγωγική υπόθεση εχουμε το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης