Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Μαρ 11, 2019 6:05 pm

Στον μετρικό χώρο (\mathbb{Q},|\cdot|) να βρεθεί φθίνουσα (ως προς την σχέση του περιέχεσθαι) ακολουθία (A_n)_{n\in\mathbb{N}} μη κενών κλειστών υποσυνόλων του \mathbb{Q} με {\rm{diam}}(A_n)\xrightarrow{n\to+\infty} 0, ώστε \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\varnothing.




Έως 15/3/2019


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1032
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Παρ Μαρ 15, 2019 6:14 pm

Καλησπέρα.

Ο μετρικός χώρος (\mathbb{Q},|\cdot|) δεν είναι πλήρης άρα το θεώρημα του Cantor μας εξασφαλίζει την ύπαρξη τέτοιας ακολουθίας.Για να τη βρούμε σκεφτόμαστε την απόδειξη του εν λόγω θεωρήματος.Τη δουλειά θα μας την κάνει μια ακολουθία ρητών που συγκλίνει σε άρρητο (άρα βασική που δε συγκλίνει στο χώρο μας).Έστω λοιπόν (q_n)_{n\in \mathbb{N}}.Μια σκέψη είναι να θεωρήσουμε τα σύνολα B_n=\{q_n,q_{n+1},\ldots\} για n=1,2,\ldotsΌμως αυτά μπορεί να μην είναι κλειστά.Τα κάνουμε κλειστά "με το ζόρι" θέτοντας A_n=\overline{B_n} για n=1,2,\ldots Τώρα έχουμε φθίνουσα ακολουθία κλειστών συνόλων οπότε μένει να δείξουμε οτι {\rm{diam}}(A_n)\to 0 και \cap_{n=1}^{\infty} A_n=\emptyset.Για το πρώτο,παρατηρούμε ότι {\rm{diam}}(A_n)={\rm{diam}}(B_n)\to 0 όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι {\rm{diam}}(A)={\rm{diam}}(\overline{A}) για κάθε υποσύνολο A μετρικού χώρου και το γεγονός ότι \lim_{m,n\to \infty} |q_m-q_n|=0.Για το δεύτερο ζητούμενο,ας υποθέσουμε ότι υπάρχει a\in \cap_{n=1}^{\infty}A_n (το a\in \mathbb{Q} αυτό θα είναι και μοναδικό αφού ισχύει ότι η τομή θα έχει το πολύ ένα στοιχείο,αλλά αυτό δε μας προσφέρει κάτι όσον αφορά το πρόβλημά μας).Τότε a\in A_n για κάθε n\in \mathbb{N}.Άρα |q_n-a|\leq {\rm{diam}}(A_n)\to 0\Rightarrow q_n\to a άτοπο.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2190
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μαρ 15, 2019 6:45 pm

Νομίζω ότι παίρνοντας

A_{n}=\mathbb{Q}\cap [\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}]

είναι εύκολο να δείξουμε ότι πληρούν αυτά που θέλουμε.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2747
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Μαρ 16, 2019 7:14 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Μαρ 15, 2019 6:45 pm
Νομίζω ότι παίρνοντας

A_{n}=\mathbb{Q}\cap [\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}]

είναι εύκολο να δείξουμε ότι πληρούν αυτά που θέλουμε.
Πράγματι
{\rm{diam}}(A_n)=\Big|\sqrt{2}+\frac{1}{n}-\big(\sqrt{2}-\frac{1}{n}\big)\Big|=\dfrac{2}{n}\xrightarrow{n\to+\infty} 0
και

\begin{aligned} 
\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n&=\bigcap_{n=1}^{\infty}\Big(\big[\sqrt{2}-\tfrac{1}{n},\sqrt{2}+\tfrac{1}{n}\big]\cap{\mathbb{Q}}\Big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\Big(\bigcap_{n=1}^{\infty}\big[\sqrt{2}-\tfrac{1}{n},\sqrt{2}+\tfrac{1}{n}\big]\Big)\cap{\mathbb{Q}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\big\{\sqrt{2}\,\big\}\cap{\mathbb{Q}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\varnothing\,. 
\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10946
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μαρ 16, 2019 10:53 am

Αν p_n αύξουσα ακολουθία ρητών που συγκλίνει στο \sqrt 2 και q_n φθίνουσα ακολουθία ρητών που συγκλίνει στο \sqrt 2 τότε
τα [p_n, q_n]\cap \mathbb Q κάνουν τη δουλειά (τετριμμένο).

Η "διαφορά" (αν μπορούμε να την πούμε έτσι) με το παράδειγμα του Σταύρου είναι ότι τώρα τα διαστήματα περιέχουν τα άκρα τους. Φυσικά με την σχετική Τοπολογία και στις δύο περιπτώσεις τα σύνολα είναι κλειστά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης