Ολοκλήρωμα με max

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα με max

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Φεβ 27, 2019 3:09 pm

Να δειχθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\int_0^1 \int_0^1 e^{\max\left\{ x^2, y^2 \right\}} \, \mathrm{d}(y, x)=e-1}
Μέχρι 02/03/18.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
TakasiMike
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Δευ Φεβ 18, 2019 7:22 pm

Re: Ολοκλήρωμα με max

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TakasiMike » Τετ Φεβ 27, 2019 4:33 pm

Επειδή x >0 και y > 0 έχουμε ότι \max({x^2,y^2}) = x^2 \Rightarrow \max({x,y}) = x . Συνεπώς μπορούμε να χωρίσουμε το χωρίο [0,1]^2 σε δύο τριγωνικά χωρία τα οποία θα χωρίζονται από την ευθεία y = x. Τότε:

\displaystyle \int_{[0,1]^2}  e^{\max(x^2,y^2)} dx dy  = \int_{y<x}  e^{\max(x^2,y^2)} dx dy  +  \int_{y>x}  e^{\max(x^2,y^2)} dx dy


Και λόγω συμμετρίας :

\displaystyle \int_{[0,1]^2}  e^{\max(x^2,y^2)} dx dy  =2 \int_{y<x}  e^{\max(x^2,y^2)} dx dy

Όταν 0 <y < x \Rightarrow 0 < y^2 < x^2 και άρα \max({x^2,y^2}) = x^2. Συνεπώς:

\displaystyle \int_{[0,1]^2}  e^{\max(x^2,y^2)} dx dy  = 2 \int_{y<x}  e^{x^2} dx dy = 2 \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{x}  e^{x^2} dx dy = 2 \big( \int_{0}^{x} dy \big) \big( \int_{0}^{1} e^{x^2} dx \big) = 2 \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx

Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται θέτωντας x^2 = u :

 \displaystyle 2 \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx  = 2 \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} du = e-1

Άρα :

\displaystyle \int_{[0,1]^2}  e^{\max(x^2,y^2)} dx dy = e - 1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης