Γνωστό και όμορφο

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 873
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Γνωστό και όμορφο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Φεβ 19, 2019 3:36 pm

Να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{n}}=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}\textup{d}x}
Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Γνωστό και όμορφο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 22, 2019 11:21 am

M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Φεβ 19, 2019 3:36 pm
Να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{n}}=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}\textup{d}x}
Φιλικά,
Μάριος

Μιας και δεν έχει ημερομηνία λήξης και έχουν περάσει 3 μέρες, δίδω μία λύση.

\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{x^x} &= \int_{0}^{1} x^{-x} \, \mathrm{d}x   \\  
 &= \int_{0}^{1} e^{-x \log x } \, \mathrm{d}x\\  
 &=\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left ( -x \log x \right )^n}{n!} \, \mathrm{d}x \\  
 &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} \left ( -x \log x \right )^n \, \mathrm{d}x \\  
 &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \int_{0}^{\infty} u^n e^{-u} \, \mathrm{d}u \\ 
 &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma(n+1)}{\left ( n+1 \right )^{n+1} n!} \\ 
 &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \\ 
 &= \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{1}{n^n}  
\end{aligned} }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2378
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Γνωστό και όμορφο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 22, 2019 4:05 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Φεβ 22, 2019 11:21 am
\displaystyle{\begin{aligned} 
 
  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} \left ( -x \log x \right )^n \, \mathrm{d}x  
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \int_{0}^{\infty} u^n e^{-u} \, \mathrm{d}u  
 \end{aligned} }
Πώς προκύπτει αυτό;


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 873
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Γνωστό και όμορφο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Μαρ 09, 2019 10:24 pm

Επαναφορά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Γνωστό και όμορφο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 09, 2019 10:39 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Σάβ Μαρ 09, 2019 10:24 pm
Επαναφορά.
Για ποιο πράγμα;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 873
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Γνωστό και όμορφο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Μαρ 10, 2019 1:02 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μαρ 09, 2019 10:39 pm
M.S.Vovos έγραψε:
Σάβ Μαρ 09, 2019 10:24 pm
Επαναφορά.
Για ποιο πράγμα;
Τόλη για το σχόλιο του Σταύρου.

Φιλικά.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης