mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 19, 2019 3:36 pm**

Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{n}}=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}\textup{d}x}$
Φιλικά,
Μάριος

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 22, 2019 11:21 am**

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 19, 2019 3:36 pm
Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{n}}=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}\textup{d}x}$
Φιλικά,
Μάριος

Μιας και δεν έχει ημερομηνία λήξης και έχουν περάσει

μέρες, δίδω μία λύση.

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{x^x} &= \int_{0}^{1} x^{-x} \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{1} e^{-x \log x } \, \mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left ( -x \log x \right )^n}{n!} \, \mathrm{d}x \\ &=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} \left ( -x \log x \right )^n \, \mathrm{d}x \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \int_{0}^{\infty} u^n e^{-u} \, \mathrm{d}u \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma(n+1)}{\left ( n+1 \right )^{n+1} n!} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( n+1 \right )^{n+1}} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n} \end{aligned} }$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 22, 2019 4:05 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 22, 2019 11:21 am
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} \left ( -x \log x \right )^n \, \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \int_{0}^{\infty} u^n e^{-u} \, \mathrm{d}u \end{aligned} }$

Πώς προκύπτει αυτό;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 09, 2019 10:24 pm**

Επαναφορά.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 09, 2019 10:39 pm**

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 09, 2019 10:24 pm
Επαναφορά.

Για ποιο πράγμα;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 10, 2019 1:02 am**

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 09, 2019 10:39 pm

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 09, 2019 10:24 pm
Επαναφορά.
Για ποιο πράγμα;

Τόλη για το σχόλιο του Σταύρου.

Φιλικά.

mathematica.gr

Γνωστό και όμορφο

Γνωστό και όμορφο

Re: Γνωστό και όμορφο

Re: Γνωστό και όμορφο

Re: Γνωστό και όμορφο

Re: Γνωστό και όμορφο

Re: Γνωστό και όμορφο