όριο πολυμεταβλητής

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2780
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

όριο πολυμεταβλητής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Φεβ 17, 2019 10:16 am

(*) Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το
\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{(x,y)\to(1,0)}\frac{(x-1)^2\log{x}+2(x-1)^2+2y^2}{x^2+y^2-2x+1}\,.

(*) θέμα Απ. Λογισμού ΙΙΙ



Μέχρι 21/2/2019


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
TakasiMike
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Δευ Φεβ 18, 2019 7:22 pm

Re: όριο πολυμεταβλητής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από TakasiMike » Δευ Φεβ 18, 2019 7:56 pm

Aρχικά θέτουμε x-1 = u και το όριο γίνεται :

\displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)} \frac{u^2 \log(u+1) + 2u^2 + 2y^2}{u^2 + y^2} = \displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)} 2 +  \frac{u^2 \log(u+1)}{u^2 + y^2} = 2 + \displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)}  \frac{u^2 \log(u+1)}{u^2 + y^2}

Για το όριο που απομένει χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες u = rcos(\theta) και y = rsin(\theta) και έτσι :

 \displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)}  \frac{u^2 \log(u+1)}{u^2 + y^2} = \displaystyle \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 cos^2(\theta) \log(rcos(\theta) + 1)}{r^2} =

 \displaystyle \lim_{r \rightarrow 0} cos^2(\theta) \log(rcos(\theta) + 1) = 0

Άρα  \displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{(x-1)^2 \log(x) + 2(x-1)^2 + 2y^2}{(x-1)^2 + y^2} = 2


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11147
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: όριο πολυμεταβλητής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Φεβ 18, 2019 8:11 pm

Πιο απλά από το σημείο
TakasiMike έγραψε:
Δευ Φεβ 18, 2019 7:56 pm

\displaystyle ...  = 2 + \displaystyle \lim_{(u,y) \rightarrow (0,0)}  \frac{u^2 \log(u+1)}{u^2 + y^2}
.
Για τον δεύτερο προσθετέο έχουμε

\displaystyle{ 0\le  \left | \frac{u^2 }{u^2 + y^2} \right | \left | \log(u+1)\right | \le 1\cdot  \left | \log(u+1)\right |\to 0}. Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης