Όριο ολοκληρωμάτων
Συντονιστής: Demetres
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Όριο ολοκληρωμάτων
Έστω η συνεχής συνάρτηση . Να αποδείξετε ότι:
Φιλικά,
Μάριος
Μέχρι 17/02/2019.
Φιλικά,
Μάριος
Μέχρι 17/02/2019.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Όριο ολοκληρωμάτων
Βάζω μια λύση παρακάτω με κάποια επιφύλαξη για τυχόν λογιστικό σφάλμα, έστω:
Παρατηρώ ότι είναι γραμμική, πράγματι:
, προκύπτει απλά με πράξεις, και:
Εξετάζουμε τώρα μονώνυμα της μορφής , αν l περιττός άμεσα το όριο μηδέν αφού η συνάρτηση εντός του ολοκληρώματος του αριθμητή είναι περιττή,και το ολοκλήρωμα είναι σε συμμετρικό γύρω από το 0 διάστημα.
Αν πάλι l άρτιος προκύπτει με παραγοντική:
Ο παρονομαστής είναι εφαρμογή του παραπάνω για κ=0, έχω λοιπόν για το κλάσμα:
Από τα παραπάνω για κάθε πολυώνυμο έχω:
αφού όλες οι δυνάμεις του x δίνουν μηδέν και ο σταθερός όρος ισούται με
Έστω ε>0 τυχόν, η f είναι συνεχής στο άρα για το δοθέν ε υπάρχει πολυώνυμο έτσι ώστε:
(Weierstrass)
Άρα:
και τελειώσαμε, ξαναλέω με κάποια επιφύλαξη για λογιστικό σφάλμα, αλλά νομίζω η ιδέα είναι η σωστή.
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Όριο ολοκληρωμάτων
Στην σχέσηsot arm έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 17, 2019 2:55 pmΒάζω μια λύση παρακάτω με κάποια επιφύλαξη για τυχόν λογιστικό σφάλμα, έστω:
Παρατηρώ ότι είναι γραμμική, πράγματι:
, προκύπτει απλά με πράξεις, και:
Εξετάζουμε τώρα μονώνυμα της μορφής , αν l περιττός άμεσα το όριο μηδέν αφού η συνάρτηση εντός του ολοκληρώματος του αριθμητή είναι περιττή,και το ολοκλήρωμα είναι σε συμμετρικό γύρω από το 0 διάστημα.
Αν πάλι l άρτιος προκύπτει με παραγοντική:
Ο παρονομαστής είναι εφαρμογή του παραπάνω για κ=0, έχω λοιπόν για το κλάσμα:
Από τα παραπάνω για κάθε πολυώνυμο έχω:
αφού όλες οι δυνάμεις του x δίνουν μηδέν και ο σταθερός όρος ισούται με
Έστω ε>0 τυχόν, η f είναι συνεχής στο άρα για το δοθέν ε υπάρχει πολυώνυμο έτσι ώστε:
(Weierstrass)
Άρα:
και τελειώσαμε, ξαναλέω με κάποια επιφύλαξη για λογιστικό σφάλμα, αλλά νομίζω η ιδέα είναι η σωστή.
υπάρχει τυπογραφικό.
Είναι
το τελικό δεν νομίζω ότι έχει κάποια σημασία.
Η υπόθεση της συνέχειας της παντού είναι περιττή.
Το αποτέλεσμα ισχύει αν η είναι συνεχής στο και έχουμε ακόμα μια συνθήκη.
π.χ φραγμένη η
το υπάρχει.
Re: Όριο ολοκληρωμάτων
Έστω ότι συνεχής για και φραγμένη.
(1)
όπου για
Ισχύεί ότι :
a)
b)
Έστω
τότε
Από (1) έχουμε ότι
Aπό a,b) έπεται ότι
Άρα
Για a,b) βλέπε εδώ :https://math.stackexchange.com/question ... 18_3118095
(1)
όπου για
Ισχύεί ότι :
a)
b)
Έστω
τότε
Από (1) έχουμε ότι
Aπό a,b) έπεται ότι
Άρα
Για a,b) βλέπε εδώ :https://math.stackexchange.com/question ... 18_3118095
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Όριο ολοκληρωμάτων
Την άσκηση σε όλη της τη γενικότητα μπορεί κανείς να την βρει στον Spivak, Κεφάλαιο ''Παράγωγοι και Ολοκληρώματα'' ή στον Παπαδημητράκη άσκηση 7.3. 24. Φαντάζομαι και αλλού μιας και είναι all time classic.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Όριο ολοκληρωμάτων
Αν θέσουμε
θέλουμε να δείξουμε ότι
για κάθε
συνεχή στο και ολοκληρώσιμη
ισχύει
Για να το δείξουμε
αρκούν τρεις ιδιότητες που έχουν.
1)
2)
3)Για
είναι
Η 1)και 2) είναι τετριμένες
Για την 3)
εχουμε
οπότε
που παίρνοντας όριο το έχουμε.
Η απόδειξη πάει ως εξης.(θα την γράψω σύντομα)
Για το είναι
Ενώ για το έχουμε αν ονομάσουμε
που προφανώς πάει στο
Φυσικά όλα τα παραπάνω είναι πασίγνωστα σε αυτούς που κάνουν κατανομές.
Στην ουσία η ακολουθία
συγκλίνει στην του Dirac.
θέλουμε να δείξουμε ότι
για κάθε
συνεχή στο και ολοκληρώσιμη
ισχύει
Για να το δείξουμε
αρκούν τρεις ιδιότητες που έχουν.
1)
2)
3)Για
είναι
Η 1)και 2) είναι τετριμένες
Για την 3)
εχουμε
οπότε
που παίρνοντας όριο το έχουμε.
Η απόδειξη πάει ως εξης.(θα την γράψω σύντομα)
Για το είναι
Ενώ για το έχουμε αν ονομάσουμε
που προφανώς πάει στο
Φυσικά όλα τα παραπάνω είναι πασίγνωστα σε αυτούς που κάνουν κατανομές.
Στην ουσία η ακολουθία
συγκλίνει στην του Dirac.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες