Πλήθος ριζών

Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.

Συντονιστής: Demetres

Κανόνες Δ. Συζήτησης
Ασκήσεις μαθηματικών προπτυχιακού επιπέδου στις οποίες πρέπει, επιπλέον, να υπάρχει καταληκτική ημερομηνία. Μέχρι αυτήν την ημερομηνία οι απαντήσεις δίνονται ΜΟΝΟ από φοιτητές. Μετά το πέρας αυτής, μπορούν να απαντήσουν όλα τα μέλη.
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 875
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Πλήθος ριζών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Φεβ 15, 2019 6:37 pm

Για κάθε n\in \left \{ 1,2,3,\ldots  \right \} ορίζουμε f(n), το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης:

\displaystyle{\sin x=1+\left ( x-\frac{\pi }{2} \right )\cos x}
στο ανοιχτό διάστημα \displaystyle{\left ( \frac{\pi }{2},n\pi +\frac{\pi }{2} \right )}. Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{f(n)=\left\{\begin{matrix} 
n-1, &n\in \left \{ 2,4,6,\ldots  \right \} \\\\  
n, & n\in \left \{ 1,3,5,\ldots  \right \} 
\end{matrix}\right.} Φιλικά,
Μάριος



Μέχρι 17/02/2019.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 875
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Πλήθος ριζών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Φεβ 19, 2019 3:34 pm

Επαναφορά για όλους!


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8176
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πλήθος ριζών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Φεβ 20, 2019 2:58 pm

Έστω x_k = k\pi και I_k = [x_k,x_{k+1}]. Θέτουμε επίσης g(x) = 1 + (x-\tfrac{\pi}{2})\cos{x}-\sin{x}. Παρατηρούμε ότι g'(x) = -(x-\tfrac{\pi}{2})\sin{x} άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο I_k αν k άρτιος και γνησίως αύξουσα στο I_k αν k περιττός. Άρα σε κάθε διάστημα I_k η g(x)=0 έχει το πολύ μία λύση. Επίσης, g(x_k) = 1 + (k\pi - \tfrac{\pi}{2})(-1)^k το οποίο είναι θετικό για k=2,4,6,\ldots και αρνητικό για k=0,1,3,\ldots.

Άρα η g(x) δεν έχει καμία λύση στο I_0 ενώ (λόγω συνέχειας) έχει από ακριβώς μία λύση στα I_1,I_2,\ldots. (Με την λύση να μην είναι στα άκρα.)

Άρα έχουμε ακριβώς n-1 λύσεις από τα διαστήματα I_1,\ldots,I_{n-1} και για το I_n μας ενδιαφέρει αν η λύση βρίσκεται στο υποδιάστημα J_n = [x_n,x_n+\pi/2) ή όχι. Αν n άρτιος έχουμε g(x_n+\pi/2)=0 άρα η λύση δεν βρίσκεται στο J_n. Αν n περιττός έχουμε g(x_n) < 0 και g(x_n+\pi/2)=2 > 0 άρα η λύση βρίσκεται στο J_n.

Άρα παίρνουμε το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης